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《線性代數(shù)課件-4.1向量空間.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、n維向量第四章向量空間、矩陣的特征值與特征向量所有分量為實(shí)數(shù)的n維向量構(gòu)成的集合稱為一個(gè)n維向量空間§4·1向量空間n維向量組線性無(wú)關(guān)，且任意n+1個(gè)n維向量線性相關(guān)n定義4.3在Rn中，n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量?1，?2，…?n稱為Rn的一組基。例如：n維單位向量組?1，?2，…?n是Rn的一組基。該基稱為Rn自然基或標(biāo)準(zhǔn)基。也是Rn的一組基。再如：因?yàn)榧淳€性無(wú)關(guān)所以也是Rn的一組基。二、基與坐標(biāo)Rn的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組補(bǔ)充：?1，?2，…?m是Rn的一組基1、?i∈Rn2、m=n3、?1，?2，…?m線性無(wú)關(guān)
2、例如：對(duì)n維向量空間若?1，?2，…?n是Rn的一組基，則?1，?2，…?n線性無(wú)關(guān)，且Rn中任意n+1個(gè)向量線性相關(guān),有?，?1，?2，…?n線性相關(guān)由P107定理3·3，即對(duì)任意?∈Rn，存在唯一一組x1,x2,…,xn使?=x1?1+x2?2+…+xn?n即對(duì)任意?∈Rn?可由?1，?2，…?n線性表示，且表法唯一?！纠?】對(duì)于上述兩組基和求向量分別在兩組基下的坐標(biāo)解：因?yàn)樗栽诨碌淖鴺?biāo)為行向量定義4.4設(shè)?1，?2，…?n是Rn的一組基，則R中的任一向量?都可唯一表示為=x1?1+x2?2+…
3、+xn?n稱系數(shù)x1,x2,…,xn為向量?在基?1，?2，…?n下的坐標(biāo)，記作（x1,x2,…,xn）設(shè)?在基下的坐標(biāo)為（x1,x2,…,xn）由此得線性方程組:所以在基下的坐標(biāo)為：即有【例（補(bǔ)）】已知R3的一組基求向量在基下的坐標(biāo)解：設(shè)?在基下的坐標(biāo)為（x1,x2,x3）即有做矩陣所以?在基下的坐標(biāo)為（2，3，-1）求向量?在基下的坐標(biāo)：設(shè)?在基下的坐標(biāo)為（x1,x2,…,xn）即有做矩陣行變換則向量?在基下的坐標(biāo)：三、過(guò)度矩陣設(shè)向量組與為Rn的兩組基，則向量可由線性表示（*）B=AQ（*）（*）舊
4、基新基舊基到新基的過(guò)度矩陣=QQ=取矩陣稱矩陣Q為舊基到新基的過(guò)度矩陣定義4·5設(shè)向量組與為Rn的兩組基，向量可由線性表示′對(duì)基和及關(guān)系式?。?）或B=AQ（*）的矩陣形式：即P159證明：取則有B=AQ由于線性無(wú)關(guān)，A可逆B可逆線性無(wú)關(guān)，所以Q=A-1B可逆P159定理4.1由舊基到新基的過(guò)度矩陣Q可逆。求舊基到新基的過(guò)度矩陣的方法(P160):取則過(guò)度矩陣Q=A-1B由行變換例2已知R3的一組基求自然基到的過(guò)度矩陣Q。解令則所求的過(guò)渡矩陣?yán)?已知R4的兩組基為：求基到的過(guò)度矩陣Q。解令則所求過(guò)度矩陣
5、為Q=A-1B故P161定理4·2設(shè)與為Rn的兩組基，由到的過(guò)度矩陣為Q，對(duì)于向量，在基和基下的坐標(biāo)分別為和由基坐標(biāo)的唯一性，得證明：且由過(guò)度矩陣是可逆的，得【例4】設(shè)R3的兩組基為：和（1）求到的過(guò)度矩陣Q（2）若在基下的坐標(biāo)為求在基下的坐標(biāo)。解：（1）取矩陣★P163321,,aaa321,,aaa得故在下的坐標(biāo)為則所求過(guò)度矩陣為設(shè)在新基下的坐標(biāo)為P163（2）已知在舊基下的坐標(biāo)為321,,aaa【例4】設(shè)R3的兩組基為：和（1）求到的過(guò)度矩陣Q（2）若在基下的坐標(biāo)為求在基下的坐標(biāo)。由得所以在基下的
6、坐標(biāo)為（-5，-7，4）321,,aaa解：因?yàn)樵诨碌淖鴺?biāo)為321,,aaa所以有3212aaax++-=321,,aaa三、子空間及維數(shù)不要小結(jié)一、概念1、基：Rn中n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量?1，?2，…?n稱為Rn的一組基2、坐標(biāo)：設(shè)?1，?2，…?n是Rn的一組基，則Rn中的任一向量?都可唯一表示為=x1?1+x2?2+…+xn?n。則稱系數(shù)x1,x2,…,xn為向量?在基?1，?2，…?n下的坐標(biāo)，記作（x1,x2,…,xn）稱Q為舊基到新基的過(guò)度矩陣3、過(guò)度矩陣：設(shè)向量組與為Rn的兩組基，則與存在
7、關(guān)系式：二、主要結(jié)論1、實(shí)數(shù)域R上的n維向量空間2、舊基到新基的過(guò)度矩陣Q可逆。定理4·2設(shè)與為Rn的兩組基，由到的過(guò)度矩陣為Q，對(duì)于向量，在基和基下的坐標(biāo)分別為和三、計(jì)算題型：1、判斷?1，?2，…?m是否為Rn的一組基步驟：（1）?i∈Rn，（2）m=n（3）?1，?2，…?m線性無(wú)關(guān)2、求向量?在基下的坐標(biāo)：設(shè)?在基下的坐標(biāo)為（x1,x2,…,xn）即有行變換則向量?在基下的坐標(biāo)：3、求舊基到新基的過(guò)度矩陣取則過(guò)度矩陣Q=A-1B由行變換方法：4、已知向量在基下的坐標(biāo)為求在基下的坐標(biāo)方法一：步驟一
8、：求出的分量：步驟二：行變換4、已知向量在基下的坐標(biāo)為求在基下的坐標(biāo)步驟一：設(shè)在基下的坐標(biāo)步驟二：求舊基到新基的過(guò)度矩陣Q步驟三：步驟四：方法二：行變換
