耗散KdV方程Cauchy問(wèn)題的適定性【文獻(xiàn)綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)耗散KdV方程Cauchy問(wèn)題的適定性為了描述復(fù)雜系統(tǒng)中的空間關(guān)聯(lián)和隨時(shí)間發(fā)展發(fā)生的復(fù)雜現(xiàn)象,人們發(fā)展了各種數(shù)學(xué)理論來(lái)描述它,其中最重要的描述方式之一為無(wú)窮維相空間的偏微分方程.近年來(lái),物理上提出了一大批非線性發(fā)展方程,如描述淺水波孤立波運(yùn)動(dòng)的KdV方程.這個(gè)方程與孤立波現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)有著密切的聯(lián)系,1834年英國(guó)科學(xué)家J.S.Russell在從愛(ài)丁堡到格拉斯哥的運(yùn)河上所觀察到一種奇特得水波現(xiàn)象,他通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)M這一現(xiàn)象,認(rèn)為這種孤立波的波動(dòng)是流體力學(xué)方程的一個(gè)穩(wěn)定解,但未能從流體力學(xué)出

2、發(fā)給孤立波以合理的理論解釋.直到1895年,兩位荷蘭科學(xué)家科特維格（Kortweg）與德弗雷斯（deVries）對(duì)淺水槽中單向運(yùn)動(dòng)的奇特波動(dòng)現(xiàn)象用一波動(dòng)方程進(jìn)行理論分析,提出了KdV方程,最終從理論上得到孤立波現(xiàn)象較滿(mǎn)意的解釋.后來(lái)在非線性光學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象是波動(dòng)過(guò)程中非線性效應(yīng)與色散現(xiàn)象互相平衡的結(jié)果[1].孤子理論是20世紀(jì)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一.雖然羅素當(dāng)年未能從流體力學(xué)出發(fā)給孤立波以合理的理論解釋,孤立波未能引起人們的充分重視,但是后來(lái)許多研究者從不同領(lǐng)域研究并應(yīng)用孤子理論,例如1955年,在烏萊姆領(lǐng)

3、導(dǎo)的美國(guó)阿爾莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室,著名物理學(xué)家費(fèi)米（E.Fermi）、帕斯塔（J.Pasta）和烏萊姆數(shù)值計(jì)算了用非線性彈簧聯(lián)結(jié)的64個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的弦的振動(dòng),目的是從數(shù)值實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的能量均分定理[2].他們對(duì)少數(shù)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行激發(fā),按照能量均分原理,經(jīng)弱的非線性長(zhǎng)時(shí)間相互作用后,初始的激發(fā)能量應(yīng)有漲落地均衡的分布到每個(gè)質(zhì)點(diǎn).然而計(jì)算結(jié)果令人意外,長(zhǎng)時(shí)間以后能量幾乎全部回到了初始集中在少數(shù)質(zhì)點(diǎn)上的狀態(tài).這個(gè)結(jié)果預(yù)示著這個(gè)非線性系統(tǒng)可以出現(xiàn)孤立波.這就是著名的FPU問(wèn)題.1965年,美國(guó)數(shù)學(xué)家采布斯基（Zabusky）

4、與克魯思卡爾（Kruskal）[3],把FPU的非線性振子系統(tǒng)的能量不均分問(wèn)題與KdV方程聯(lián)系了起來(lái).此后人們發(fā)現(xiàn),在許多物理體系中都存在KdV方程,說(shuō)明孤立波是一種普遍存在的物理現(xiàn)象.于是KdV方程被看作為數(shù)學(xué)物理的一個(gè)基本方程.孤立波被發(fā)現(xiàn)后就在應(yīng)用領(lǐng)域，如流體力學(xué)、等離子體物理、非線性光學(xué)等許多領(lǐng)域發(fā)揮重要作用,特別是非線性光學(xué)中的重要應(yīng)用——“孤子用于光纖通訊”3,該發(fā)現(xiàn)被授予Nobel物理學(xué)獎(jiǎng).在強(qiáng)大的應(yīng)用推動(dòng)下,孤子的數(shù)學(xué)理論,如適定性,穩(wěn)定性等越來(lái)越受到關(guān)注,許多世界頂級(jí)數(shù)學(xué)家,T.Kato,J.

5、Bourgain,T.Tao等加盟其中,使得這方面的研究炙手可熱.偏微分方程的適定性是微分方程理論中的基本問(wèn)題,主要解決三方面,即解的存在性,唯一性,解對(duì)定解條件的連續(xù)依賴(lài)性.描述孤立波現(xiàn)象的方程包括修正方程很多,例如Schroding方程、KdV方程、耗散KdV方程、Burgers方程等.特別地,耗散KdV方程是許多領(lǐng)域中孤立波現(xiàn)象的模型,如在長(zhǎng)波小振幅近似下可描述離子體的磁流體波的運(yùn)動(dòng),等離子體和聲波兩種混合態(tài)的壓力波,管底下部流體的運(yùn)動(dòng),低溫下非線性晶格的聲子波包的熱激等[9].色散方程Cauchy問(wèn)題的

6、低正則性是由Kato在上世紀(jì)80年代開(kāi)創(chuàng)的[4,5],基本研究思想是應(yīng)用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理結(jié)合各類(lèi)先驗(yàn)估計(jì)去證明局部適定性.Strichartz估計(jì)在早期的研究中發(fā)揮重要的作用;后來(lái),J.Bourgain引進(jìn)了Fourier變換限制范數(shù)方法（Bourgain方法）,雙線性估計(jì)成為了關(guān)鍵[6];Fourier變換限制范數(shù)方法被進(jìn)一步推廣用于色散-耗散方程,例如M.Otani對(duì)耗散KdV方程的研究[7].解的整體適定性問(wèn)題研究的基本方法是在局部適定性的基礎(chǔ)上,借助于先驗(yàn)估計(jì)、方程的守恒律等性質(zhì)對(duì)解做延拓而得到.

7、八十年代以來(lái),對(duì)KdV方程的解的整體存在性的研究提出了一些新的處理方法,例如J.Bourgain提出了高低頻方法[8],T.Tao提出了幾乎能量守恒法[9],這些方法適用于解決當(dāng)初值的正則性不太高時(shí)的解的存在性,學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)是突破性的.田立新[10]引入小波近似慣性流形概念,用小波分析研究一類(lèi)非線性孤立波方程的長(zhǎng)期動(dòng)力學(xué)行為.郭柏靈[11]、苗長(zhǎng)興[12]、王保祥[13]、崔尚斌[14]等學(xué)者在發(fā)展方程低正則性研究方向上取得了重要進(jìn)展,另外,趙向青[15,16]、趙志峰[17]對(duì)耗散KdV方程及其他非線性方程的Ca

8、uchy問(wèn)題的適應(yīng)性也獲得了一些重要結(jié)果.本課題的研究對(duì)象是一類(lèi)含有耗散項(xiàng)的耗散KdV方程:在定義工作空間（Sobolev空間,Bourgain空間）的基礎(chǔ)上,需要建立關(guān)于耗散項(xiàng)的估計(jì),最終擬用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理證明這類(lèi)耗散KdV方程Cauchy問(wèn)題的適定性.3參考文獻(xiàn)[1]Hasegawa,F.Tappert.TransmissionofStationaryNonlinearop