一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題解的適定性文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題解的適定性一、前言部分在數(shù)學(xué)物理方程的學(xué)習(xí)及教學(xué)中，波動(dòng)方程是一種重要的雙曲型偏微分方程，它通常表示所有種類(lèi)的波，例如聲波，光波和水波。它出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，例如聲學(xué)，電磁學(xué)，和流體力學(xué)，波動(dòng)方程的變種可以在量子力學(xué)和廣義相對(duì)論中見(jiàn)到,對(duì)非線性偏微分方程有關(guān)概念、理論及方法的理解起著非常重要的作用。對(duì)一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題解的適定性研究，對(duì)解決高維波動(dòng)方程有重要意義。以下是本文經(jīng)常要用到的一些概念：1、一維波動(dòng)方程的定義定義1，（1.1）其中，方程（1.1）刻畫(huà)了均勻弦的微小橫振動(dòng)的一般規(guī)律，人們稱(chēng)

2、它為弦振動(dòng)方程，亦稱(chēng)為一維波動(dòng)方程。一根弦線特定的振動(dòng)狀況，還依賴(lài)于初始時(shí)刻弦線的狀態(tài)和通過(guò)弦線兩端所受到的外界影響。因此，為了確定一個(gè)具體的弦振動(dòng)，除了列出它滿(mǎn)足的方程以外還必須寫(xiě)出它適合的初始條件和邊界條件。定義2初始條件即必須給出弦上各點(diǎn)在初始時(shí)刻的位移和速度：（1.2）這里為已知函數(shù)。定義3邊界條件一般來(lái)說(shuō)有三種。16（1）已知端點(diǎn)的位移變化，即（1.3）特別當(dāng)時(shí)，稱(chēng)弦線具有固定端。（2）已知在端點(diǎn)所受的垂直于弦線的外力的作用，即（1.4）特別當(dāng)時(shí)，稱(chēng)弦線具有自由端。（3）已知端點(diǎn)的位移與所受外力的作用的一個(gè)線性組合（1.5）特

3、別當(dāng)時(shí)，表示弦的兩端固定在彈性支承上，分別表示支承的彈性系數(shù)。定義4邊界條件和初始條件統(tǒng)稱(chēng)為定解條件。定義5我們把方程的解必須要滿(mǎn)足的事先給定的條件叫做定解條件，一個(gè)方程配備上定解條件就構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題。2、波動(dòng)方程的定義定義6如果我們考慮的是膜的振動(dòng)或者聲波在空氣中的傳播，用來(lái)描述這些二維和三維波動(dòng)現(xiàn)象的微分方程仍然具有和方程（1.1）相似的形式：（1.6）16這里是Laplace算子，是維數(shù)。通常我們把方程(1.6)稱(chēng)為波動(dòng)方程。3、Cauchy問(wèn)題的定義定義7所謂初值問(wèn)題（Cauchy問(wèn)題）即在上定義一個(gè)函數(shù)，使它在內(nèi)適合方程（1

4、.6），而在上適合初始條件??定義8不必考慮邊界條件，我們把在區(qū)域上，由方程（1.1）和初始條件（1.2）組成的定解問(wèn)題稱(chēng)為弦振動(dòng)方程的初值問(wèn)題（或Cauchy問(wèn)題）。4、定解問(wèn)題的適定性定義9如果一個(gè)定解問(wèn)題的解存在、唯一、穩(wěn)定，那么我們稱(chēng)這個(gè)定解問(wèn)題是適定的。因?yàn)槎ń鈹?shù)據(jù)（如初值、邊值和方程的非齊次項(xiàng)等）一般都是通過(guò)實(shí)際測(cè)量得到的，它不可能絕對(duì)正確，所以人們關(guān)心對(duì)于定解數(shù)據(jù)的微小差異是否會(huì)引起解的完全失真？這就是解的穩(wěn)定性問(wèn)題，即解是否連續(xù)依賴(lài)于定解數(shù)據(jù)？當(dāng)然講大小就要先引入度量。定義10設(shè)是一個(gè)函數(shù)集合，如果對(duì)于任意兩個(gè)函數(shù)，必有

5、那么稱(chēng)是線性空間。如果對(duì)于任意，都有一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，且適合（1）若則（2）若則16（3），其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，那么稱(chēng)為線性賦范空間，稱(chēng)為的范數(shù)或模。定義11解的穩(wěn)定性的定義:以弦振動(dòng)方程的混合問(wèn)題為例。我們說(shuō)混合問(wèn)題的解對(duì)初值是連續(xù)依賴(lài)的，這意味著如果把初值看作是線性賦范空間中的元素，而把相應(yīng)的混合問(wèn)題的解看作是線性賦范空間中的元素，則對(duì)于任意以及相應(yīng)于它們的解，有：,當(dāng)時(shí)，有5、疊加原理的定義定義12幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果（即假設(shè)其他原因不存在時(shí)，該原因所產(chǎn)生的效果）的累加。例如，幾個(gè)

6、外力作用在一物體上所產(chǎn)生的加速度可以用單個(gè)外力各自單獨(dú)作用在該物體上所產(chǎn)生的加速度相加而得出。這個(gè)原理稱(chēng)為疊加原理。6、特征線的定義定義13我們稱(chēng)下列常微分方程初值問(wèn)題的解為方程的特征線，其中為常數(shù)。7、能量積分的定義定義14對(duì)于弦振動(dòng)問(wèn)題，表示弦元素在時(shí)刻所具有的動(dòng)能，表示弦元素在時(shí)刻的應(yīng)變能（或稱(chēng)勢(shì)能）。因此不計(jì)常數(shù)因子，表達(dá)式表示弦段在時(shí)刻的總能量。在數(shù)學(xué)上，我們稱(chēng)它為能量積分，或稱(chēng)為解的能量模。8、古典解與廣義解的定義16定義15我們把擴(kuò)大了解的函數(shù)類(lèi)以后得到的解稱(chēng)為廣義解，而把原來(lái)的二次連續(xù)可微解稱(chēng)為古典解。那么這里有兩條原則

7、應(yīng)予考慮：A．古典解必是廣義解；B．廣義解是唯一的，且按某種度量連續(xù)依賴(lài)于定解資料。二、主題部分文獻(xiàn)[1]闡述了一階線性方程的特征線解法，給出了用特征線方法解一階偏微分方程的步驟：1.求特征線；2.沿特征線將原方程化為關(guān)于的常微分方程（其中c為參數(shù)），并求出；3.從特征線方程解出，則所求的解為。此外，文獻(xiàn)[1]還闡述了用特征線法解波動(dòng)方程的初值問(wèn)題的過(guò)程,所用的知識(shí)是能量不等式和Gronwall不等式：定理1（能量不等式）設(shè)是定解問(wèn)題的解，則有估計(jì)16其中引理2（Gronwall不等式）若非負(fù)函數(shù)在上連續(xù)可微，，且對(duì)有其中為常數(shù)，為上不

8、減的非負(fù)可積函數(shù)，則文獻(xiàn)[2]利用疊加原理、自變量變換、齊次化原理求解一維波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題：得到了達(dá)朗貝爾公式：（3）并給出了如下定理：定理3設(shè)那么初值問(wèn)題16存在唯一的解，它由達(dá)朗貝爾公式（3）