一維波動方程Cauchy問題解的適定性文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述一維波動方程Cauchy問題解的適定性一、前言部分在數(shù)學(xué)物理方程的學(xué)習(xí)及教學(xué)中，波動方程是一種重要的雙曲型偏微分方程，它通常表示所有種類的波，例如聲波，光波和水波。它出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，例如聲學(xué)，電磁學(xué)，和流體力學(xué)，波動方程的變種可以在量子力學(xué)和廣義相對論中見到,對非線性偏微分方程有關(guān)概念、理論及方法的理解起著非常重要的作用。對一維波動方程Cauchy問題解的適定性研究，對解決高維波動方程有重要意義。以下是本文經(jīng)常要用到的一些概念：1、一維波動方程的定義定義1，（1.1）其中，方程（1.1）刻畫了均勻弦的微小橫振動的一般規(guī)律，人們稱

2、它為弦振動方程，亦稱為一維波動方程。一根弦線特定的振動狀況，還依賴于初始時(shí)刻弦線的狀態(tài)和通過弦線兩端所受到的外界影響。因此，為了確定一個(gè)具體的弦振動，除了列出它滿足的方程以外還必須寫出它適合的初始條件和邊界條件。定義2初始條件即必須給出弦上各點(diǎn)在初始時(shí)刻的位移和速度：（1.2）這里為已知函數(shù)。定義3邊界條件一般來說有三種。16（1）已知端點(diǎn)的位移變化，即（1.3）特別當(dāng)時(shí)，稱弦線具有固定端。（2）已知在端點(diǎn)所受的垂直于弦線的外力的作用，即（1.4）特別當(dāng)時(shí)，稱弦線具有自由端。（3）已知端點(diǎn)的位移與所受外力的作用的一個(gè)線性組合（1.5）特

3、別當(dāng)時(shí)，表示弦的兩端固定在彈性支承上，分別表示支承的彈性系數(shù)。定義4邊界條件和初始條件統(tǒng)稱為定解條件。定義5我們把方程的解必須要滿足的事先給定的條件叫做定解條件，一個(gè)方程配備上定解條件就構(gòu)成一個(gè)定解問題。2、波動方程的定義定義6如果我們考慮的是膜的振動或者聲波在空氣中的傳播，用來描述這些二維和三維波動現(xiàn)象的微分方程仍然具有和方程（1.1）相似的形式：（1.6）16這里是Laplace算子，是維數(shù)。通常我們把方程(1.6)稱為波動方程。3、Cauchy問題的定義定義7所謂初值問題（Cauchy問題）即在上定義一個(gè)函數(shù)，使它在內(nèi)適合方程（1

4、.6），而在上適合初始條件??定義8不必考慮邊界條件，我們把在區(qū)域上，由方程（1.1）和初始條件（1.2）組成的定解問題稱為弦振動方程的初值問題（或Cauchy問題）。4、定解問題的適定性定義9如果一個(gè)定解問題的解存在、唯一、穩(wěn)定，那么我們稱這個(gè)定解問題是適定的。因?yàn)槎ń鈹?shù)據(jù)（如初值、邊值和方程的非齊次項(xiàng)等）一般都是通過實(shí)際測量得到的，它不可能絕對正確，所以人們關(guān)心對于定解數(shù)據(jù)的微小差異是否會引起解的完全失真？這就是解的穩(wěn)定性問題，即解是否連續(xù)依賴于定解數(shù)據(jù)？當(dāng)然講大小就要先引入度量。定義10設(shè)是一個(gè)函數(shù)集合，如果對于任意兩個(gè)函數(shù)，必有

5、那么稱是線性空間。如果對于任意，都有一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)與它對應(yīng)，且適合（1）若則（2）若則16（3），其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，那么稱為線性賦范空間，稱為的范數(shù)或模。定義11解的穩(wěn)定性的定義:以弦振動方程的混合問題為例。我們說混合問題的解對初值是連續(xù)依賴的，這意味著如果把初值看作是線性賦范空間中的元素，而把相應(yīng)的混合問題的解看作是線性賦范空間中的元素，則對于任意以及相應(yīng)于它們的解，有：,當(dāng)時(shí)，有5、疊加原理的定義定義12幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果（即假設(shè)其他原因不存在時(shí)，該原因所產(chǎn)生的效果）的累加。例如，幾個(gè)

6、外力作用在一物體上所產(chǎn)生的加速度可以用單個(gè)外力各自單獨(dú)作用在該物體上所產(chǎn)生的加速度相加而得出。這個(gè)原理稱為疊加原理。6、特征線的定義定義13我們稱下列常微分方程初值問題的解為方程的特征線，其中為常數(shù)。7、能量積分的定義定義14對于弦振動問題，表示弦元素在時(shí)刻所具有的動能，表示弦元素在時(shí)刻的應(yīng)變能（或稱勢能）。因此不計(jì)常數(shù)因子，表達(dá)式表示弦段在時(shí)刻的總能量。在數(shù)學(xué)上，我們稱它為能量積分，或稱為解的能量模。8、古典解與廣義解的定義16定義15我們把擴(kuò)大了解的函數(shù)類以后得到的解稱為廣義解，而把原來的二次連續(xù)可微解稱為古典解。那么這里有兩條原則

7、應(yīng)予考慮：A．古典解必是廣義解；B．廣義解是唯一的，且按某種度量連續(xù)依賴于定解資料。二、主題部分文獻(xiàn)[1]闡述了一階線性方程的特征線解法，給出了用特征線方法解一階偏微分方程的步驟：1.求特征線；2.沿特征線將原方程化為關(guān)于的常微分方程（其中c為參數(shù)），并求出；3.從特征線方程解出，則所求的解為。此外，文獻(xiàn)[1]還闡述了用特征線法解波動方程的初值問題的過程,所用的知識是能量不等式和Gronwall不等式：定理1（能量不等式）設(shè)是定解問題的解，則有估計(jì)16其中引理2（Gronwall不等式）若非負(fù)函數(shù)在上連續(xù)可微，，且對有其中為常數(shù)，為上不

8、減的非負(fù)可積函數(shù)，則文獻(xiàn)[2]利用疊加原理、自變量變換、齊次化原理求解一維波動方程的Cauchy問題：得到了達(dá)朗貝爾公式：（3）并給出了如下定理：定理3設(shè)那么初值問題16存在唯一的解，它由達(dá)朗貝爾公式（3）