2.6 無窮小比較

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1、§2.7無窮小的比較一、無窮小的比較二、等價無窮小三、小結(jié)CalculusDr.F.Jiang一、無窮小的比較221例如,當(dāng)時x→0,xx,,sin,sxxin都是無窮小.2xx觀察下列極限lim=0,xx2比3;要快得多x→03xsinxlim=1,sinx與x大致相同;x→0x21xsin1limx=limsin不存在,不可比.x→0x2x→0x極限不同,反映了無窮小趨向于零的速度的“快慢”程度不同.定義:設(shè)α,β是同一過程中的兩個無窮小,且α≠0β(1)如果lim=0,則稱是比βα高階的無窮小．α記作β=o

2、()αβ(2)如果lim=∞,則稱是比βα低階的無窮??；αβ(3)如果lim=C≠0,則稱與是βα同階的無窮??；αβ特殊地,如果lim=1,則稱β與是α等價的無窮小；α記作α~;β2x例如，因?yàn)閘im=0，x→03x2即xoxx=(3),(→0).2所以當(dāng)x→0時，x是比3x高階的無窮?。畇inx因?yàn)閘im=1，即sinx~,xx(→0).x→0x所以當(dāng)x→0時，sinx與x是等價無窮?。?、等價無窮小代換定理(等價無窮小代換定理)(1)()αxxxx、、、βαβ()′()′()是同一極限過程的無窮??；(2)α~

3、αββ′′,~β′(3)lim存在．α′ββ′則lim=limαα′證βββα′′ββ′α′β′lim=?lim(?)=lim?lim?lim=limαβ′′ααβ′α′αα′注:由此可知,求兩個無窮小量積或商的極限時,如果分子（或分子的乘積因子）或分母（或分母的乘積因子）的等價無窮小量存在,則就可用它們各自的等價無窮小量來代換原來的分子或分母（或分子或分母的乘積因子）,使計算簡化。tan2x2x2例1lim=lim=x→0sin5xx→05x5幾個常見的等價無窮小:當(dāng)時x→0,sinx~x,tanx~,xarc

4、sinx~xarctanx~,xln(1+x)~,xx1~,ex?12n11cos~?xx;11+xx?≠~,(0a)2n注意上述公式應(yīng)用的條件上述等價無窮小中的x可以是函數(shù)形式,但在所考慮的極限過程中,此函數(shù)的極限應(yīng)為零.x→0,sin()~fxfx(),2sin2x例2求lim.x→01cos?x解12當(dāng)x→0時,1cos~?xx,sin2~2.xx22(2x)原式=lim=8.x→012x21s+xxin1?例3求極限lim2x→0ex?1解因?yàn)?x22x→0有1s+?xxin1~sxxin,ex?1~2所

5、以1xsinx1s+xxin1?21lim=lim=xx22→0e?1x→0x2(x+1)sinx例4求lim.xx→0e?1x解當(dāng)x→0時,sinx~x,e?1~x.原式=lim(x+1)x=lim(x+1)=1.x→0x→0x若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積,則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換,而不會改變原式的極限．注意：不能濫用等價無窮小代換.切記:只可對函數(shù)的乘積因子作無窮小等價代換,對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換.tanx?sinx例5求lim.3x→0sin2xx?x錯解當(dāng)時

6、x→0,tanx~,sinxxx~.原式=lim3=0x→0(2)x1sin(x?1)解原式cosxsin(1cos)x?x=lim=lim33x→0(2)xx→0(2)cosxx12x?x21=lim=.3x→0(2)x16tan2x例6.求limx→πsin3xtan2x2x2lim=lim=x→πsin3xx→π33x解：令xtxt=π+→→，則π時,0tan2xttan2(π+)lim=limxt→→πsin3xt0sin3(π+)tan2t=limt→0?sin3t2t2=lim=?t→0?3t3xx(

7、1cos)?例7.求limtanx2;x→0(1ex?)sintanx解時∵xe→?01，~tanx~x,22sinx~x2xx?xx(1cos)?2∴=limtanx2limx→0(1ex?)sinx→0xx?21=2xab?b例8求極限lim,(a>0,b>0)x→ax?aax?aax()?ablnbb(1?)be(1?)解原式=lim=limxa→x?axa→x?aabxab()?ln=limxa→x?aa=bblnsinx例9若lim(cosx?=ba)5，求,bxx→0ea?【分析】本題屬于已知極限求參

8、數(shù)的反問題.sinx解∵lim(cosxb?)=5xx→0ea?limsinx?(cosx?b)=0x→0x∴l(xiāng)im(ea?=)0∴a=1x→0sinxxlim(cosx?b)=lim(cosxb?)=15?=bx→0eax?x→0x∴b=?4fx()注：一般地，已知lim=Ax→*gx()(1)若，gx()→→0則fx()0;(2)若，fx()→≠0且A0，則gx()→