魏爾斯特拉斯函數(shù)

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1、在數(shù)學(xué)中，魏爾斯特拉斯函數(shù)(Weierstrassfunction)是一類處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的實(shí)值函數(shù)。魏爾斯特拉斯函數(shù)是一種無法用筆畫出任何一部分的函數(shù)，因?yàn)槊恳稽c(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都不存在，畫的人無法知道每一點(diǎn)該朝哪個(gè)方向畫。魏爾斯特拉斯函數(shù)的每一點(diǎn)的斜率也是不存在的。魏爾斯特拉斯函數(shù)得名于十九世紀(jì)的徳國數(shù)學(xué)家卡爾?魏爾斯特拉斯(KarlTheodorWilhelmWeierstrass;1815-1897)。歷史上，魏爾斯特拉斯函數(shù)是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)反例。魏爾斯特拉斯Z前，數(shù)學(xué)家們對(duì)函數(shù)的連續(xù)性認(rèn)識(shí)并不深刻。許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為除了少數(shù)一些特殊的點(diǎn)以外，連續(xù)的函數(shù)

2、曲線在每一點(diǎn)上總會(huì)有斜率。魏爾斯特拉斯函數(shù)的出現(xiàn)說明了所謂的“病態(tài)”函數(shù)的存在性，改變了當(dāng)吋數(shù)學(xué)家對(duì)連續(xù)函數(shù)的看法。構(gòu)造魏爾斯特拉斯的原作小給出的構(gòu)造是：:

3、由于無窮級(jí)數(shù)的每一個(gè)函數(shù)項(xiàng)$a^ncos(b"npix)$的絕對(duì)值都小于常數(shù)$a\text{'}n$,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的。由比較審斂法可以知道原級(jí)數(shù)一致收斂。因此,由于每一個(gè)函數(shù)項(xiàng)$a"ncos(bnpix)$都是$\{mathbbR\}$上的連續(xù)函數(shù),級(jí)數(shù)和$f(x)$也是$\{mathbbR\}$上的連續(xù)兩數(shù)。下面證明函數(shù)處處不可導(dǎo):對(duì)一個(gè)給定的點(diǎn)$x$

4、in{mathbbR},證明的思路是找出趨于〈math>x的兩組不同的數(shù)列〈math>(x_n)和$(x*\_n)$,使得:$liminffrac\{f(x\_n)-f(x)\}\{x\_n-x\}>1imsupfrac\{f(x*\_n)一f(x)\}\{x\text{'}\_n-x\}.$這與函數(shù)可導(dǎo)的定義才盾，于是證明完畢。一般人會(huì)直覺上認(rèn)為連續(xù)的函數(shù)必然是近乎可導(dǎo)的。即使不可導(dǎo)，所謂不可導(dǎo)的點(diǎn)也必然只占整體的一小部分。根據(jù)魏爾斯特拉斯在他的論文中所描述，早期的許多數(shù)學(xué)家，包括高斯，都

5、曾經(jīng)假定連續(xù)函數(shù)不可導(dǎo)的部分是有限或可數(shù)的。這可能是因?yàn)橹庇^上想彖一個(gè)連續(xù)但在不可數(shù)個(gè)點(diǎn)上不町導(dǎo)的函數(shù)是很困難的事。當(dāng)我們繪制函數(shù)的圖像時(shí)，總會(huì)畫出佼為規(guī)則的圖形，例如滿足利普希茨條件的函數(shù)圖像。魏爾斯特拉斯函數(shù)町以被視為第一個(gè)分形函數(shù)，盡管這個(gè)名詞當(dāng)時(shí)還不存在。將魏爾斯特拉斯函數(shù)在任一點(diǎn)放人，所得到的局部圖都和整體圖形相似。因此，無論如何放人，函數(shù)圖像都不會(huì)顯得更加光滑，也不存在單調(diào)的區(qū)間。編輯木段處處不可導(dǎo)函數(shù)的稠密性分析學(xué)的成果表明，魏爾斯特拉斯函數(shù)并不是連續(xù)函數(shù)屮的少數(shù)幾個(gè)特例之一。盡管它是“病態(tài)”函數(shù)的一種，但可以證明，這種病態(tài)的函數(shù)事實(shí)上不

6、在“少數(shù)”，浜至比那些“規(guī)則”的函數(shù)“多得多”。在測度論意義上：在配備了經(jīng)典維納測度Y的連續(xù)函數(shù)空間C（［0,1］;R）屮，至少有一處可導(dǎo)的函數(shù)所構(gòu)成的集合的測度是0,也就是說和處處不可導(dǎo)的函數(shù)相比是可以“忽略”的。爾斯特拉斯的原作中給出的構(gòu)造是:于（H）=刀?COS（bn7TX）71=0其中01+刁開?這個(gè)函數(shù)以及它處處連續(xù)而又處處不可導(dǎo)的證明首次出現(xiàn)在［魏爾斯特拉斯于1872年6月18日在普魯士科學(xué)院出版的一篇論文中。證明這個(gè)函數(shù)處處連續(xù)并不困難。由于無窮級(jí)數(shù)的每一個(gè)函數(shù)項(xiàng)/COS（護(hù)7T￡）8持絕對(duì)值都小于常數(shù)

7、口巴而正項(xiàng)級(jí)數(shù)力Q"是收斂的。n=0由比較審斂法可以知道原級(jí)數(shù)一致收斂。因此，由于每一個(gè)函數(shù)項(xiàng)anCOS（&n7TTW是展上的連續(xù)函數(shù),級(jí)數(shù)和f{x）也是上的連續(xù)函數(shù)。?????w?????????????F面證明函數(shù)處處不可導(dǎo)：對(duì)一個(gè)給定的點(diǎn)①€展，證明的思路是找出趨于⑦的兩組不同的數(shù)列（軸）和（此），使得??????????????????????liminf5）一皿>limsup曲二型Xn—Xxn^X這與函數(shù)可導(dǎo)的定義矛盾，于是證明完畢。