淺談數(shù)學(xué)解題思路與方法

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1、淺談數(shù)學(xué)解題思路與方法南昌市進(jìn)賢縣實(shí)驗(yàn)學(xué)校羅有文內(nèi)容提要:筆者從事多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)。認(rèn)為初中階段數(shù)學(xué)題除了拿握以上常用的數(shù)學(xué)思想方法外，述要掌握-?些其它的方法與技巧。下面筆者從1、整體統(tǒng)籌;2、從簡單情況看問題;3、枚舉篩選;4、猜想歸納;5、從反面考慮問題;6、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等五個(gè)方面談?wù)勛约旱南敕?。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)、解題、統(tǒng)籌、簡單、枚舉篩選、猜想歸納、反面、構(gòu)造、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富多彩，題目千變?nèi)f化，企圖通過見識題型以僥幸取勝，是不可能的。在牢固學(xué)握基礎(chǔ)知識和基本技能的前提下，重在掌握解題思想方法，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力和邏輯推理能力，才能掌握“點(diǎn)金術(shù)”，才會受益

2、終生。初屮階段耍著重掌握消元思想、降次思想、變換思想、數(shù)形結(jié)合思想，并掌握配方法、換元法、待定系數(shù)法、特殊值檢驗(yàn)法、嘗試歸納法、綜合法、分析法、參數(shù)法、反證法、分類法等重要的數(shù)學(xué)方法，但對于數(shù)學(xué)題除了掌握以上常用的數(shù)學(xué)思想方法外，述要掌握一些其它的方法與技巧。—、整體統(tǒng)籌數(shù)學(xué)習(xí)題，常用各個(gè)擊破，求其各部分，最后求其全部（或全體）的方法,但是當(dāng)求英局部反而困難時(shí)，應(yīng)著眼全局，從整體考慮，避免出現(xiàn)不必要的屮問量，從而獲得問題的解決。例如：甲、乙二人分別從A、B兩地各自以勻速相向而行，第一次相遇時(shí)，甲行走了10千米，他們到達(dá)終點(diǎn)后立即回頭，第二次相遇時(shí)，甲離B地7千米,問

3、A、B兩地距離多少千米？分析：如果分別設(shè)甲、乙速度及AB兩地距離列的三元分式方程組，將十分復(fù)雜，如果從整體看，到第二次相遇兩人共走AB的3倍，兩人相向而行，合走一個(gè)AB時(shí)，甲走10T米，合走三個(gè)AB則甲走了30T米，而甲實(shí)際上只走了一個(gè)AB多7千米，從而十分方便得的一個(gè)AB為30-7=23（T?米），即AB距離為23千米。又如：冇甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元,若購甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元，現(xiàn)購甲、乙、丙各1件共需多少元？分析：從整體考慮，把題目變形為：甲購2件、乙6件和甲、乙、丙各一件，總價(jià)格為3.15元；甲購3件、乙9

4、件和甲、乙、丙各一件總價(jià)格為4.2元。則3X3.15—2X4.20=1.05（元），即為甲、乙、丙各購一件的價(jià)格。二甲、乙、丙各購—件只需1.05元。二、從簡單情況看問題當(dāng)我們遇到一個(gè)比較復(fù)朵的數(shù)學(xué)問題，一吋理不清它的頭緒吋，不妨將問題退到最簡單的情況，從而降低問題的難度，從簡單問題中得到解題的思路、方法與規(guī)律，然后再回到原題。例如：五個(gè)圓順序外切，H不都與直線AB相切，如果其中最小圓與最人圓宜徑分別為18和32,求正中間的圓的直徑？分析：按題意是多圓外切問題，這里既有最小圓、最大圓，又月光如水屮的圓，說明至少應(yīng)有三個(gè)圓，所以這類問題的最簡單情況是三個(gè)圓順序外切，為

5、探求相切五個(gè)圓的一直徑長度關(guān)系，不妨先從簡單情況著手：外切三個(gè)圓的宜徑長度關(guān)系。設(shè)三個(gè)圓Oi、02、03順次外切，且都與直線A、B相切，若半徑依次為1*1、1*2、「3，則RtZ^O]A2O2sRtZO2A3O3o（如圖所示）于是=整理得—現(xiàn)回到五個(gè)圓的情況，若其半■一匚一■n:徑由小到大順序?yàn)榭凇?、「3、「4、「5則得立=負(fù)，負(fù)=乞，仝=冬于是空=負(fù)=魚=冬，rr2rA設(shè)殳二負(fù)=么=冬二匕rr2廠3r4?r3=rjk2,r4=rjk3,r5=rik1,rj=18,巧=32A32=18?k4,/.k=—,Ak=-93Ar3=18k2=18X^=24由此題可

6、知：若把題圓改為奇數(shù)個(gè)圓相切，其余條件不變，也能求的出當(dāng)屮圓的直徑。三、枚舉篩選當(dāng)命題是限個(gè)事物組成，成長由無限個(gè)組成，但這些事物可按有限個(gè)持性分類時(shí)，可用枚舉法，逐個(gè)討論，去偽存真，篩選的正確答案。例如：第二次數(shù)學(xué)測驗(yàn)共岀10道選擇題，評分辦法是：每答對一題得4分,答錯(cuò)一題得?1分;不答得0分,設(shè)這次測驗(yàn)至多有兒種可能成績，則n等于()。A、42,B、45,C、46,D、48,E、以上都不對。分析：從分值看冇：40分、39分、，1分、0分、-1分共冇51種。但從學(xué)答題情況分：①九題答對最多36分，最少35分，那么39、38、37種分?jǐn)?shù)不會出現(xiàn)；②八題答對最多得32

7、分，最少30分，那么34,33分二種分?jǐn)?shù)不會出現(xiàn)；③七題答對，最多得28分，最小得25分，那么29分這種分?jǐn)?shù)不會出現(xiàn);④六答對以及以下各種情況，則得24分到?10分的所有可能情況。因此這次測驗(yàn)交多只能＜51-3-2-1=45(種)，故選(B)o四、猜想歸納猜想是一種重要的思維方法，它常常是通過嘗試，歸納或觀察、聯(lián)想、類比而發(fā)現(xiàn)論斷，預(yù)見證明方法與思路。例如：平面上的兩條直線，最多只有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有三個(gè)交點(diǎn)，平面上的四條直線、五條直線……，n條直線呢？分析：平面內(nèi)兩條直線最多只冇一個(gè)交點(diǎn)，交增加一條直線時(shí)，這條直線與前兩條直線最多有兩個(gè)交點(diǎn)。所以,平面三