凱利公式詳細(xì) 推導(dǎo)

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1、凱利公式詳細(xì)推導(dǎo)資金增長(zhǎng)最快的投資比例是對(duì)數(shù)投資組合理論要解決的問題。凡是學(xué)過金融的都會(huì)知道Markowitz1952年開創(chuàng)的投資組合理論，但是知道對(duì)數(shù)最優(yōu)組合理論的人就少多了。但是，大凡專業(yè)的賭徒或投機(jī)客，都會(huì)對(duì)這一理論有一些了解。1956年美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室工程師小Kelly的一篇文章開創(chuàng)了這一理論，著名的Kelly公式由此誕生，并奠定了Kelly賭法（Kellybetting）的理論基礎(chǔ)?！　∥乙郧霸?jīng)介紹過Kelly公式以及比Kelly公式更一般的使資金增長(zhǎng)最快的投資比例公式。現(xiàn)在對(duì)于對(duì)數(shù)投資組合理論有了更多的認(rèn)識(shí)，需要做個(gè)系統(tǒng)整理，既是進(jìn)一步梳理思路，也與大家交流。這是一個(gè)非常值得學(xué)

2、習(xí)研究、直至應(yīng)用自如的理論。毛收益率RK理論上是而實(shí)際上不是，或者說應(yīng)該不是獨(dú)立同分布的?！　‘?dāng)操作者是人的時(shí)候，前次的RK-1將通過對(duì)操作者的影響而對(duì)RK是產(chǎn)生某種影響，尤其當(dāng)前次的RK-1或非常大或非常小的時(shí)候，同樣在大的投機(jī)市場(chǎng)，還有受市場(chǎng)普遍平均收益率影響的可能。這里的討論是假定一個(gè)賭局的性質(zhì)已經(jīng)給定，毛收益率Rk由賭局的性質(zhì)所確定。至于賭徒能不能實(shí)現(xiàn)這個(gè)Rk，則是由他的操作水平所定?！∫幢壤齠和速度g的具象，你可以自己設(shè)計(jì)一系列的賭局，然后分別計(jì)算一下各自的最優(yōu)的比例f和g，同時(shí)也計(jì)算非最優(yōu)的f下的g，多算幾次，然后畫個(gè)圖，就會(huì)有直觀的領(lǐng)悟。　　這個(gè)比例本就是上個(gè)世紀(jì)的發(fā)明。最

3、早的發(fā)明者是美國(guó)的工程師小Kelly，進(jìn)行系統(tǒng)詳細(xì)的討論和發(fā)展的有RalphVince（這哥哥竟然就這個(gè)問題寫了三本書，真服了他）、VanTharp（就是《通向金融王國(guó)的自由之路》的作者）等等。國(guó)內(nèi)我所知道的最早談這個(gè)問題的是上個(gè)世紀(jì)90年代的魯晨光。魯晨光把這個(gè)比例稱為“熵”，據(jù)他說是他自己的發(fā)明，是對(duì)系統(tǒng)老三論之信息論的開山鼻祖Shannon的信息熵的推廣。而小Kelly是Shannon在貝爾試驗(yàn)室的同事，他也說自己所發(fā)明這個(gè)比例，正是Shannon的信息熵的推廣應(yīng)用。只不過在時(shí)間上，小Kelly提出這一比例的時(shí)間要比魯晨光早將近40年?！　∥以谶@里是想就這一理論做一個(gè)系統(tǒng)的整理，如果

4、去也兄覺得有錯(cuò)漏之處，還請(qǐng)賜教補(bǔ)正。巴非特不會(huì)研究這些東西,索羅斯估計(jì)要看懂它也夠嗆。總結(jié)起來，第一條黃金準(zhǔn)則說的只有期望收益率大于零的賭局才值得參與；第二條黃金準(zhǔn)則說的是，即使對(duì)于那些期望收益率大于零的賭局，也要注意倉(cāng)位問題：如果賭局輸?shù)膬羰找媛省?1并且輸?shù)母怕蚀笥诹悖瑒t無論這種概率多么小，最優(yōu)的選擇永遠(yuǎn)不會(huì)滿倉(cāng)?！　∈聦?shí)上，以上兩條準(zhǔn)則中的任何一條準(zhǔn)則，只要違背的次數(shù)足夠多，最后的結(jié)果一定（概率=100%）是本錢輸光或者暴倉(cāng)。正因如此，所以我把它們稱為是投資、投機(jī)或者賭博中長(zhǎng)期生存所必須遵守的兩條黃金準(zhǔn)則。只要不違背這兩條準(zhǔn)則中的任何一條，則無論如何輸、賠、虧損累累，但最起碼可以保得

5、不死，青山可永在，綠水可長(zhǎng)流，他日翻身的希望永遠(yuǎn)不會(huì)消失?！　　　∧愕凸腊头铺亓恕＠习驮谖诸D商學(xué)院、內(nèi)布拉斯加大學(xué)讀的本科，在哥倫比亞大學(xué)金融系讀的碩士。而今的中國(guó)，倘若有人有跟巴菲特同樣的學(xué)歷學(xué)位，估計(jì)都是眼睛往天上看的主。但是我知道偉大的投機(jī)客杰西.利沃默是沒有研究或看懂它，所以他最后死了。必然的結(jié)局。下面一部分將討論風(fēng)險(xiǎn)，表述會(huì)有些啰嗦，現(xiàn)在只能將就這樣了。上面例子中的倉(cāng)位選擇，實(shí)際上是組合的一種技術(shù)。思考一下，最優(yōu)的投資比例f=50%，是說每次只將資金的50%用于下注。這固然是一個(gè)倉(cāng)位問題，但再思考一下，那另外50%的資金是什么？是拿在手中的現(xiàn)金。所以f=50%實(shí)際上也是一個(gè)組合：

6、賭注和現(xiàn)金的組合。在上面的例子中，如果不使用組合技術(shù)，也即在參與賭局的時(shí)候，不將資金分成現(xiàn)金和賭注兩個(gè)部分，或者只持有現(xiàn)金，或者全部用于下注，則容易看到，資金最終都將不會(huì)出現(xiàn)增長(zhǎng)。但是，在把資金變成賭注和現(xiàn)金的組合之后，資金就可以實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng)?！　≈档盟伎嫉囊粋€(gè)問題是，我們知道，現(xiàn)金不產(chǎn)生任何收益，但是在上面的例子中，為什么把一部分的資金以現(xiàn)金的方式拿在手中，反而能夠促使資金總額實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng)？這表面上，似乎是現(xiàn)金導(dǎo)致了資金的增長(zhǎng)。是不是有點(diǎn)費(fèi)解？其中的道理，如果把“賭局”這個(gè)詞改成“股票”或者“期貨”，就容易理解得多（我在前面已經(jīng)說明，在我這里，賭局與證券、交易系統(tǒng)、投資項(xiàng)目等等概念的內(nèi)涵是等價(jià)的

7、）。因?yàn)楝F(xiàn)金和賭注的組合比例f是一個(gè)固定的比例，如果股票價(jià)格升高，則總資金中投在股票上的金額所占的比例也升高，這時(shí)為了保持f固定不變，就需要賣出一部分股票以變成現(xiàn)金；如果股價(jià)價(jià)格下降，則總資金中投在股票上的金額所占的比例也下降，為了保持f固定不變，就拿出一部分現(xiàn)金用于買入股票。所以，這里的賭注和現(xiàn)金就好象兩個(gè)水池，比例f就好像它們之間的一個(gè)自動(dòng)化的水泵，賭注上的資金多了，水泵就自動(dòng)把資金往現(xiàn)金這個(gè)池子里面送；現(xiàn)金上的資金