中考數(shù)學復習指導：輔助圓—一種求解線段最值的方法

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1、輔助種求解線段最值的方法運用構(gòu)造三角形求線段最值問題的力法，也提供一種構(gòu)造輔助圓求解線段最值的方法,供參考.模型如圖1(1)與圖1(2),求點A到圓上各點的最大距離與最小距離.如圖1(1),點A至iJOO的最大距離為AC,最小距離為AB.如圖1(2),點A到OO的最大距離為AC,最小距離為AB.圖1證明在O0上任取點D,連AD,OD.由三角形兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊，同圓中半徑都相等，可知如圖1⑴中,即AOAD;即OA-OB=ABAD,OA-ODAD,即OB—OA二ABvAD.0D+0

2、A>AD,OD-OA

3、得到MS

4、C

5、-點E為線段屮點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程屮，點P的對應點是人，求線段長度的最大值與最小值.簡析線段AB的屮點E的運動路徑為以B為圓心，3E長為半徑的圓，再畫出P點離B最遠的點為C點與最近的位置點為D點的運動路徑也是圓.因此，線段BP｝最小值為D、E、B在同一直線上時，E片二2-1.5=0.5.當G、E、B在同一直線上時，線段最大值為：4+1.5=5?5.例3如圖4,在邊長為2的菱形ABCD中，Z￡>=60°,M是AD邊上的中點，N是AB邊上的一個動點，將AAMN沿MN所在直線翻折得到AA'MN

6、,連結(jié)A'C,則A'C長度的最小值是.簡析因為在翻折過程中4M長始終不變，所以點的運動路徑在以M為圓心，MA長為半徑的圓弧上，所以當C、￡、M在同一直線上時，A'C有最小值.A'C=MC-MA=y/7-l由已知可求得MC=J7)例4如圖5,E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF,連結(jié)CF交BD于點G,連結(jié)BE交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段長度的最小值為.簡析由已知條件可知ABE與ACDF全等，ADG與ADCG全等，貝UZDCF=ZDAG=ZABE.又ZABE+ZAEF=90°,可得到ZAHB=90°,所以無論E、

7、F如何運動，點H始終在以的中點M為圓心、AM長為半徑的圓弧上.由模型可知，當D、H、M在同一直線上時，DH最小，即D/7=DM-DH=后-.注本方法的運用關(guān)鍵是找到動點運動路徑為圓的條件.由上述例題可歸納為如下兩種動點路徑為圓的條件：(1)到定點距離等于定長；(2)動點與定線兩端點構(gòu)成直角三角形，以動點為直角頂點.