中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：利用輔助圓求解動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題

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1、利用輔助許多幾何問(wèn)題雖然與圓無(wú)關(guān)，但是如果能結(jié)合條件補(bǔ)作輔助圓，就能利用圓的有關(guān)性質(zhì)、結(jié)論，將某些最值問(wèn)題通過(guò)圓中的幾何模型求解.筆者經(jīng)過(guò)研究，歸納為以下情況可考慮作輔助圓：一、同一端點(diǎn)出發(fā)的等長(zhǎng)線(xiàn)段例1如圖1,在直角梯形ABCD中，ZDAB=ZABC=90°,AD=3,AB=^BC=6，點(diǎn)F是線(xiàn)段43上一動(dòng)點(diǎn)，將EBC沿CE翻折到AEB'C,連結(jié)B'D,B'A.當(dāng)點(diǎn)、E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別求B'D,B'A,B'D+B'A的最小值.解析如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B時(shí)，與B重合;當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A時(shí)，設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)F處，由翻折可知BC=BfC=FC.所以，點(diǎn)在以C為圓心，BC為半徑的圓上，運(yùn)動(dòng)軌跡為弧BF.如圖

2、2,點(diǎn)D在OC內(nèi)，延長(zhǎng)CD交OC于點(diǎn)妨.當(dāng)點(diǎn)8’在點(diǎn)目時(shí)B'D最小，最小值為BC-DC=?點(diǎn)A在（DC外，設(shè)AC交OC于點(diǎn)坊，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)場(chǎng)時(shí)最小，最小值為AC-B￡=2丘-6.Ar設(shè)AD與（DC交點(diǎn)為耳，當(dāng)點(diǎn)/在點(diǎn)耳時(shí)B'D+B'A最小，最小值為AD=3.點(diǎn)評(píng)當(dāng)條件中有同一端點(diǎn)出發(fā)的等長(zhǎng)線(xiàn)段時(shí)，根據(jù)圓的定義，以該端點(diǎn)為圓心，等長(zhǎng)為半徑構(gòu)造圓，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離問(wèn)題.模型1如圖3,點(diǎn)A在OO外，A到OO上各點(diǎn)連線(xiàn)段中AB最短；如圖4,點(diǎn)A在（DO內(nèi)，A到（DO上各點(diǎn)連線(xiàn)段中最短.證明在OO上任取一點(diǎn)C,不與點(diǎn)3重合，連結(jié)CA,CO,如圖3.?/OC+CA>0AyOC=OB,/.

3、CA>AB，得證.如圖4,-OC-OAZH=ZC,???當(dāng)ZACB為定值時(shí)，點(diǎn)C形成的軌跡是弧ACB、弧ADB（不含點(diǎn)A,B）.1.動(dòng)點(diǎn)時(shí)定線(xiàn)段所張的角為直角例2如圖6,正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，ZAEB=90°,連結(jié)DE,求DE的最小值.解析vZAEB=

4、90°,AB為定線(xiàn)段，由模型2可知，點(diǎn)E在以AB為直徑的圓上.連OD交OO于點(diǎn)F,由模型1,當(dāng)E在點(diǎn)F處時(shí)DE最短，最小值是V5-1.點(diǎn)評(píng)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)對(duì)定線(xiàn)段所張的角為直角吋，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角，以定線(xiàn)段為直徑構(gòu)造圓.1.動(dòng)點(diǎn)時(shí)定線(xiàn)段所張的角為銳角例3如圖7,ZXOY=45°,一把直角三角形尺ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B分別在OX,OY上移動(dòng)，AB=10,求點(diǎn)0到AB距離的最大值.XoBY圖7A圖8解析如圖&OD為AABO的外接圓，由模型2知，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧AOB（A,B兩點(diǎn)除外）.過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)E,交弧A03于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)0在點(diǎn)F處時(shí)，0到AB的距離最大，即為FE長(zhǎng).???ZXO

5、Y=45。,???ZADB=90°.???AB=叫?FD=AD=DB=5逅,DE=5,???FE=5血+5.故O到AB距離的最大值為5^2+5.點(diǎn)評(píng)本題AB是定長(zhǎng)，ZXOY為定值，利用模型2,找到點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段弧,這段弧所在的圓是一個(gè)定圓，于是原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到弦的距離問(wèn)題.模型3如圖9,AB是。O的一條弦，點(diǎn)C是OO上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)O作DE丄AB,垂足為D,交OO于點(diǎn)E（E,D在O兩側(cè)）.當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)E處時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，即為DE長(zhǎng).證明如圖9,作CF丄垂足為點(diǎn)F,CF

6、BC邊長(zhǎng)為2,射線(xiàn)AD//BC，點(diǎn)E是射線(xiàn)AD±一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），MEC外接圓交EB于點(diǎn)F,求AF的最小值.解析如圖10,???ZEFC二ZE4C=60。,???ZBFC=120。.???BC為定長(zhǎng)，.??點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧BC（不與B,C重合）.過(guò)點(diǎn)A作AG丄BC垂足為G,交弧BC于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)H吋AF最小，最小值^AG-HG=a/3-—.33點(diǎn)評(píng)本題將動(dòng)點(diǎn)E轉(zhuǎn)化到動(dòng)點(diǎn)F,且因?yàn)閆BFC=120°,BC為定長(zhǎng)，由模型2可知，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧，這段弧所在的圓是一個(gè)定圓.于是，AF的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最小值問(wèn)題，由模型1即可求解.三、動(dòng)點(diǎn)對(duì)定線(xiàn)段所張的角的最值例5

7、如圖11,四邊形ABCD中，均有AD//BC.CD丄3C,ZABC=60。,AD=&BC=2.在邊AD上，是否存在一點(diǎn)E,使得cosZBEC的值最??？若存在，求出此時(shí)cosZBEC的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析當(dāng)ZBEC為銳角時(shí)，cosZBEC隨ZBEC的增大而減小，求cosZBEC的值最小值，只要求ZBEC最大值.于是，作BC中垂線(xiàn)交BC,AD于點(diǎn)F,G.設(shè)三點(diǎn)B,C,G確定OO,則OO切AD于點(diǎn)G.此