向量范數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞減性質(zhì).v3

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1、向量范數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞減性質(zhì)傅緒加^二吳紅光I(1淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽淮北2350002南京理工大學(xué)理學(xué)院,江蘇南京210094)摘要：在有限維實(shí)向量空間口"中，用兩種方法證明了仃范數(shù)函數(shù)(/7>0)的單調(diào)遞減性質(zhì)，并應(yīng)用此性質(zhì)，簡(jiǎn)潔明了地證明了任意兩個(gè)乙范數(shù)(/7>1)之間的等價(jià)性。關(guān)鍵詞：向量空間，向量范數(shù)，單調(diào)遞減性中圖分類(lèi)號(hào)：0151.21文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C文章編號(hào)：在冇限維實(shí)向量空間屮，可以引入不同的范數(shù)，使Z成為不同的賦范空間“宀，常用的范數(shù)有仃范數(shù)(p>l),如厶范數(shù)、厶范數(shù)、匚范數(shù)叭由于范數(shù)滿足齊次性與三角不等式性八21,

2、故范數(shù)可視為是定義在向量空間上的凸函數(shù)，很多工程問(wèn)題最終可歸結(jié)為相應(yīng)的賦范空間中的仃范數(shù)極小化或仃范數(shù)正則化問(wèn)題口役近年來(lái)，此類(lèi)問(wèn)題在機(jī)器學(xué)習(xí)、反問(wèn)題、圖像處理、結(jié)構(gòu)化稀疏表示、壓縮感知等領(lǐng)域?引廣受關(guān)注。探究向量仃范數(shù)的冇關(guān)性質(zhì)，仍具有意義。對(duì)于不同的“ni值，空間口"中向量的-范數(shù)實(shí)際上給出了向量長(zhǎng)度或模的不同度量方式，它們Z間具有某些聯(lián)系，如等價(jià)性，見(jiàn)本文定義2與定理3。在仃范數(shù)的定義式屮取pe(O,l)時(shí)，所得到的實(shí)函數(shù)并不是向量空間口何(A^>2)屮的向量范數(shù)，詳見(jiàn)本文的定義1及其說(shuō)明，但是，此時(shí)的仃極小化問(wèn)題或正則化問(wèn)題(pe(0

3、,l))卻有諸多有趣的性質(zhì)⑹。本文主要討論向量不同范數(shù)之間的大小關(guān)系，主要結(jié)論為定理1與定理2。為了文章的完整性，本文內(nèi)容安排如下，在第1節(jié)中引入相關(guān)記號(hào)并給出主要結(jié)論之一即定理1;為了在第3節(jié)清晰表述泄理1兩種證明方法，并引出定理2,先在第2節(jié)給出相關(guān)預(yù)備知識(shí)；最后，在第4節(jié)給出定理1的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，即用此定理的結(jié)論證明任意兩種常用—范數(shù)(p>l)之間的等價(jià)性。1、主耍結(jié)論在有限維實(shí)向量空間口“中，/VeD+(D+為正整數(shù)集)，向量x=(心兀2,…,、1/"可被賦予一范數(shù)⑴:關(guān)系式:x=limxPT8

4、l有pT8?max*N1/p

5、則“⑵，但為表述方便，在不引起混淆的情況下，仍稱(chēng)之為向量的范數(shù)，并給岀如下概念：定義1（仃范數(shù)、范數(shù)函數(shù)）：在向量空間口N屮，Nw口+,稱(chēng)￡

6、忑I"‘嚴(yán)（0嚴(yán)）X廠嚴(yán)丿max

7、xk

8、，p=g

9、

10、x

11、

12、/?,pe（0,oo］為向量X的范數(shù)函數(shù)。在定義1中，采用pe（0,oo］iQ法是為表述之便。要說(shuō)明的是，當(dāng)廠（0,1）,且N>2時(shí)，仃范數(shù)并不是真的范數(shù)，也不是口“上的凸函數(shù)；但對(duì)于N=,公式⑴屮一維向量x={x］的所有仃范數(shù)（pe（0,oo］）均為常數(shù)值卜

13、,也均為真的范數(shù)。對(duì)于任意給定的

14、向量xgD^,NeQ+,范數(shù)函數(shù)/（〃）在區(qū)間（0嚴(yán)）內(nèi)連續(xù)可微，因?yàn)樗煽闯墒怯捎邢薅鄠€(gè)基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限多次復(fù)合而組成的初等函數(shù)，并且有以下單調(diào)性質(zhì)：定理1：范數(shù)函數(shù)/（p）=

15、

16、x

17、

18、^在區(qū)間（0,oo］±單調(diào)遞減，XW0N,例如，取定x,=（1,0,---,0）gD“吋，/（P）=

19、

20、x1

21、

22、/?=1為常值函數(shù)；取定x2=（1,1,---,1）gD/v時(shí)，/3）=収2

23、

24、〃=剛"為常值函數(shù)（2=1）或?yàn)閲?yán)格單調(diào)遞減函數(shù)（NA2）。定理1實(shí)際上描述了向量x的不同-范數(shù)（p>0）Z間的大小關(guān)系。2、預(yù)備知識(shí)引理1：設(shè)實(shí)函數(shù)/（兀）在非空

25、區(qū)間Uu口上連續(xù)，且在冇理數(shù)集t/nn上單調(diào)，則函數(shù)/（兀）在區(qū)間（/上單調(diào)。證明：僅針對(duì)單調(diào)遞減情形用反證法證明，類(lèi)似可證明單調(diào)遞增情形。假設(shè)函數(shù)/?（*）在uno上單調(diào)遞減，但函數(shù)/（兀）不在區(qū)間U上單調(diào)遞減，即3xpx2gU,Xj

26、/（x）-/（xJ

27、<￡0,（忑一玄,母.+Q）uU,k=1,2（2）任取有理數(shù)耳0（忑-氏,忑+a）rw（如果壬或兀2位于區(qū)間u的端點(diǎn)處，只要在其相應(yīng)的單側(cè)鄰域取相

28、應(yīng)的有理數(shù)瓦即可），由式（2）中的兩個(gè)不等式有：/（可