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《向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院矩陣論教學(xué)團(tuán)隊(duì)DepartmentofMathematics,CollegeofSciences書(shū)后要求的習(xí)題,主動(dòng)自覺(jué)做,抽查和不定時(shí)收取使用教材《矩陣論教程》國(guó)防工業(yè)出版社2012其他輔導(dǎo)類參考書(shū)（自選）課程要求作業(yè)要求矩陣論網(wǎng)站http://matrix.hrbeu.edu.cn/授課預(yù)計(jì)(10學(xué)時(shí))1234第二章內(nèi)積空間與賦范線性空間歐氏空間與酉空間標(biāo)準(zhǔn)正交基與向量的正交化正交子空間酉(正交)變換與正交投影5向量范數(shù)與矩陣范數(shù)6向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性教學(xué)內(nèi)容和基本要求2,理解內(nèi)積空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，會(huì)用施密特正
2、交化方法構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交基；3,理解正交子空間及其正交補(bǔ)的概念，掌握正交投影的概念；理解正交變換的概念，熟練掌握正交矩陣的性質(zhì)；1，熟練掌握內(nèi)積的計(jì)算方法，知道度量矩陣及其基本性質(zhì)，理解內(nèi)積空間的概念；在矩陣范數(shù)中,相容性尤為重要，那么矩陣范數(shù)與向量范數(shù)之間有類似的性質(zhì)？若是上的矩陣范數(shù)，是上的向量范數(shù)，由于仍是上的向量，所以：設(shè)是上的矩陣范數(shù)，是上的向量范數(shù)。如果對(duì)任意的都有：則稱矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的定義1向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性§2.6例1證明矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。證明：設(shè)，例2證明矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。證明：設(shè)，
3、
4、A
5、
6、
7、F與
8、
9、x
10、
11、2相容的性質(zhì)反映了
12、
13、A
14、
15、F是像Ax的2-范數(shù)
16、
17、Ax
18、
19、2與原像x的2-范數(shù)之比的最大值，即因此，可以用
20、
21、A
22、
23、F來(lái)刻畫(huà)變換A的結(jié)果。對(duì)于給定的某種向量是否一定存在與它相容的矩陣范數(shù)？任意一個(gè)矩陣范數(shù)都有與之相容的向量范數(shù)嗎？給定上的向量范數(shù)，定義則是上與向量范數(shù)相容的矩陣范數(shù)，稱為由向量范數(shù)導(dǎo)出的算子范數(shù)或從屬于向量范數(shù)的矩陣范數(shù)從屬于向量范數(shù)的矩陣范數(shù)定理1定理1表明，由給定的向量范數(shù)按照上式定義的實(shí)值函數(shù)是一種矩陣范數(shù)，它與已給的向量范數(shù)是相容的。證明(1)當(dāng)A為非零矩陣時(shí)，一定可以找到非零向量x，使Ax≠0，
24、從而有即
25、
26、A
27、
28、滿足正定性；另外，顯然
29、
30、A
31、
32、=0當(dāng)且僅當(dāng)A=0。(2)對(duì)任意的常數(shù)k∈C，即
33、
34、A
35、
36、滿足齊次性。(3)對(duì)任意的方陣A，B∈Cn×n，即
37、
38、A
39、
40、滿足三角不等式。(4)對(duì)任意的方陣A，B∈Cn×n，即
41、
42、A
43、
44、滿足相容性。上述定義的實(shí)值函數(shù)
45、
46、A
47、
48、是矩陣A的范數(shù)。再證
49、
50、A
51、
52、與
53、
54、x
55、
56、v的相容性。由向量范數(shù)誘導(dǎo)的矩陣的算子范數(shù)還有另外幾個(gè)不同的計(jì)算公式。定理2:設(shè)是上的向量范數(shù),則(1)都是由誘導(dǎo)出的算子范數(shù)(2)證(1)令(2)顯然由(1)可知，故有，例3證明由n維向量的1-范數(shù)，∞-范數(shù)和2-范數(shù)所誘導(dǎo)的算子
57、范數(shù)分別是(設(shè)A=(aij)n×n)列模和之最大者：列和范數(shù)為從屬于向量2-范數(shù)的矩陣范數(shù)，也稱譜范數(shù)。為A的最大正奇異值。(3)為從屬于向量∞–范數(shù)的矩陣范數(shù)(2)為從屬于向量1–范數(shù)的矩陣范數(shù)(1)行模和之最大者：行和范數(shù)證明(1)設(shè)A的各列向量為αi，即則，且有，于是另外，設(shè)，并取單位向量且即有即
58、
59、Ax
60、
61、1在單位球面{x
62、
63、
64、x
65、
66、1=1}上的極大值點(diǎn)為ek，(2)假設(shè)i=k時(shí)，取得最大值，即則對(duì)于滿足
67、
68、x
69、
70、∞=1的任意n維向量x，有取x0的第j個(gè)分量xj為則有
71、
72、x0
73、
74、∞=1，且Ax0的第k個(gè)分量為設(shè)與之對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征
75、向量為，即有(3)任取，且
76、
77、x
78、
79、2=1，則作酉陣，則有AHA=UHDU，其中令，則由于AHA為Hermite陣且正定，故可設(shè)AHA的特征值為從而有故得即，從而證得因?yàn)?，所以又由x的任意性可得若取x=u1，則顯然有設(shè)是定義在上的一種矩陣范數(shù)，則在上必存在與它相容的向量范數(shù)證明：用構(gòu)造法證明。取定,則就是上與相容的向量范數(shù)。首先,證明是上的范數(shù)：與矩陣范數(shù)相容的向量范數(shù)的存在性三角不等式3,正定性2,絕對(duì)齊性再證與的相容性由矩陣范數(shù)定義中的第4條定理3設(shè)A為n階方陣，則證明(1)由于而
80、
81、A
82、
83、2為
84、
85、Ax
86、
87、2在
88、
89、x
90、
91、2=1上的最大值
92、，因此，存在x0，使得取故(2)因?yàn)橛钟捎谇覍?duì)任意存在故又由于故有(3)由矩陣范數(shù)定義和(2)，有故有(4)由(2)和(3)，可得故有定義3矩陣A∈Cn×n的譜半徑ρ(A)是是A的特征值}證明設(shè)λ為矩陣A的一個(gè)特征值，相應(yīng)的特征向量為x≠0，則定理4如果
93、
94、
95、
96、是任意的矩陣范數(shù)，且A∈Cn×n，則若
97、
98、
99、
100、是任意的矩陣范數(shù)，則對(duì)上式兩邊同時(shí)取范數(shù)，由λ的任意性，我們有盡管譜半徑不是Cn×n中的矩陣范數(shù)，但對(duì)于每個(gè)固定的A∈Cn×n，它是關(guān)于A的所有矩陣范數(shù)的值的最大下界。GoodBye
