數(shù)值分析7 向量范數(shù)與矩陣范數(shù).ppt

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1、Hilbert矩陣的病態(tài)性向量范數(shù)與矩陣范數(shù)矩陣的條件數(shù)定位問(wèn)題的條件數(shù)《數(shù)值分析》7引例.Hilbert矩陣的病態(tài)性方程組Ax=b1的解為x1方程組Ax=b的解為xx–x1=[-2.427.0-64.842.0]T2/18數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果A=hilb(4);b=[1;2;1.41;2];b1=b;b1(3)=b1(3)+.01;x=Ab;x1=Ab1;error=x-x1;formatshorte[x,x1,error]ans=-1.6560e+002-1.6320e+002-2.4000e+0001.833

2、0e+0031.8060e+0032.7000e+001-4.4232e+003-4.3584e+003-6.4800e+0012.8980e+0032.8560e+0034.2000e+001數(shù)值試驗(yàn)程序3/18定義3.1設(shè)Rn是n維向量空間,如果對(duì)任意x∈Rn,都有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),且滿足如下三個(gè)條件:(1)正定性:

3、

4、x

5、

6、≥0,且

7、

8、x

9、

10、=0<=>x=0;(2)齊次性:λ為任意實(shí)數(shù)(3)三角不等式:(y∈Rn)則稱

11、

12、x

13、

14、為向量x的范數(shù).注:向量范數(shù)是向量長(zhǎng)度概念的推廣.例如是向量x的范數(shù)4/18常

15、用的范數(shù):例1.證明

16、

17、x

18、

19、2是Rn上的一種范數(shù)先證明柯西不等式:

20、xTy

21、≤

22、

23、x

24、

25、2·

26、

27、y

28、

29、2對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,有(x-λy)T(x-λy)≥0?xTx–2λxTy+λ2yTy≥0

30、xTy

31、2–(xTx)(yTy)≤0?

32、xTy

33、≤

34、

35、x

36、

37、2·

38、

39、y

40、

41、2判別式5/18(三角不等式成立)(正定性成立)(齊次性成立)6/18例2.范數(shù)意義下的單位向量:X=[x1,x2]T1-11

42、

43、X

44、

45、1=111-1-1

46、

47、X

48、

49、2=1-111-1-1

50、

51、X

52、

53、∞=17/18例3.設(shè)x=(x1,x2,····,xn)

54、T,證明證明:所以思考:8/18定義3.2對(duì)A∈Rn×n,存在實(shí)數(shù)

55、

56、A

57、

58、滿足:則稱

59、

60、A

61、

62、是矩陣A的一個(gè)范數(shù).(1)正定性:

63、

64、A

65、

66、≥0,且

67、

68、A

69、

70、=0?A=0;(2)齊次性:λ為任意實(shí)數(shù)(3)三角不等式:(B∈Rn×n)(4)相容性:Frobenius范數(shù)9/18矩陣算子范數(shù)的概念設(shè)

71、

72、x

73、

74、是Rn上的向量范數(shù),A∈Rn×n,則A的非負(fù)函數(shù)稱為矩陣A的算子范數(shù)注1:矩陣的算子范數(shù)由向量范數(shù)所導(dǎo)出,如注2:算子范數(shù)滿足相容性其中,A∈Rn×n,x∈Rn10/18“1-范數(shù)”(列和范數(shù))無(wú)窮大范數(shù)(行和

75、范數(shù))例,X=[-35]T,求A、X的“1-范數(shù)”,“2-范數(shù)”和“無(wú)窮大范數(shù)”11/18?1=26.1803,?2=3.819712/18矩陣的條件數(shù)概念方程組Ax=b,右端項(xiàng)b有一擾動(dòng)引起方程組解x的擾動(dòng)設(shè)x是方程組Ax=b的解,則有化簡(jiǎn),得由Ax=b得所以13/18定義條件數(shù):Cond(A)=

76、

77、A–1

78、

79、·

80、

81、A

82、

83、或C(A)=

84、

85、A–1

86、

87、·

88、

89、A

90、

91、當(dāng)條件數(shù)很大時(shí),方程組Ax=b是病態(tài)問(wèn)題;當(dāng)條件數(shù)較小時(shí),方程組Ax=b是良態(tài)問(wèn)題注:14/18類似,設(shè)方程組Ax=b,矩陣A有一擾動(dòng)時(shí),將引起方程組解

92、x的擾動(dòng)設(shè)x是方程組Ax=b的解,則有化簡(jiǎn),得取范數(shù)15/18階數(shù)456條件數(shù)119.4×1052.9×1079.8×108條件數(shù)21.5×1044.7×1051.4×107條件數(shù)∞9.4×1052.9×1079.8×108Afamousexampleofabadlyconditionedmatrix16/18定位問(wèn)題的條件數(shù)

93、A

94、=(x2–x1)(y3–y1)–(x3–x1)(y2–y1)17/18Cond(A)=

95、

96、A–1

97、

98、·

99、

100、A

101、

102、與

103、det(A)

104、成反比18/18