向量與矩陣的范數(shù).ppt

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1、第五章向量與矩陣的范數(shù)定義：設(shè)是實(shí)數(shù)域（或復(fù)數(shù)域）上的維線性空間，對(duì)于中的任意一個(gè)向量按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)稱為的范數(shù)，記為，并且要求范數(shù)滿足下列運(yùn)算條件：（1）非負(fù)性：當(dāng)只有且僅有當(dāng)（2）齊次性：為任意數(shù)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室（3）三角不等式：對(duì)于中的任意兩個(gè)向量都有例：在維線性空間中，對(duì)于任意的向量定義北京理工大學(xué)高數(shù)教研室證明：都是上的范數(shù)，并且還有引理（Hoider不等式）：設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室則其中且。引理（Minkowski不等式）：設(shè)則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室其中實(shí)數(shù)。

2、幾種常用的范數(shù)定義：設(shè)向量，對(duì)任意的數(shù)，稱為向量的范數(shù)。常用的范數(shù)：（1）1－范數(shù)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室（2）2－范數(shù)也稱為歐氏范數(shù)。（3）－范數(shù)定理：證明：令，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室于是有另一方面北京理工大學(xué)高數(shù)教研室故由此可知定義：設(shè)是維線性空間上定義的兩種向量范數(shù)，如果存在兩個(gè)與無(wú)關(guān)的正數(shù)使得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室定理：有限維線性空間上的任意兩個(gè)向量范數(shù)都是等價(jià)的。利用向量范數(shù)可以去構(gòu)造新的范數(shù)。例：設(shè)是上的向量范數(shù)，且，則由所定義的是上的向量范數(shù)。例：設(shè)數(shù)域上的維線性空間，北京理工大學(xué)高數(shù)教研室

3、為其一組基底，那么對(duì)于中的任意一個(gè)向量可唯一地表示成又設(shè)是上的向量范數(shù)，則由所定義的是上的向量范數(shù)。矩陣范數(shù)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室定義：對(duì)于任何一個(gè)矩陣，用表示按照某一確定法則與矩陣相對(duì)應(yīng)的一個(gè)實(shí)數(shù)，且滿足（1）非負(fù)性：當(dāng)只有且僅有當(dāng)（2）齊次性：為任意復(fù)數(shù)。（3）三角不等式：對(duì)于任意兩個(gè)同種形狀矩陣都有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室（4）矩陣乘法的相容性：對(duì)于任意兩個(gè)可以相乘的矩陣，都有那么我們稱是矩陣的范數(shù)。例1：對(duì)于任意，定義可以證明如此定義的的確為矩陣的范數(shù)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室證明：只需要驗(yàn)證此定義滿

4、足矩陣范數(shù)的四條性質(zhì)即可。非負(fù)性，齊次性與三角不等式容易證明。現(xiàn)在我們驗(yàn)證乘法的相容性。設(shè)，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室北京理工大學(xué)高數(shù)教研室例2：設(shè)矩陣，證明：是矩陣范數(shù)。證明：非負(fù)性，齊次性和三角不等式容易證得?，F(xiàn)在我們考慮乘法的相容性。設(shè)，那么北京理工大學(xué)高數(shù)教研室因此為矩陣的范數(shù)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室例3：對(duì)于任意，定義可以證明也是矩陣的范數(shù)。我們稱此范數(shù)為矩陣的Frobenious范數(shù)。證明：此定義的非負(fù)性，齊次性是顯然的。利用Minkowski不等式容易證明三角不等式。現(xiàn)在我們驗(yàn)證乘法的相容性。

5、設(shè)，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室于是有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室例4：對(duì)于任意，定義證明如此定義的是矩陣的范數(shù)。證明：首先注意到這樣一個(gè)基本事實(shí)，即由一個(gè)例題可知此定義滿足范數(shù)的性質(zhì)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室Frobenious范數(shù)的性質(zhì)：（1）如果，那么（2）（3）對(duì)于任何階酉矩陣與階酉矩陣北京理工大學(xué)高數(shù)教研室都有等式關(guān)于矩陣范數(shù)的等價(jià)性定理。定理：設(shè)是矩陣的任意兩種范數(shù)，則總存在正數(shù)使得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室誘導(dǎo)范數(shù)定義：設(shè)是向量范數(shù)，是矩陣范數(shù)，如果對(duì)于任何矩陣與向量都有則稱矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。例1

6、：矩陣的Frobenius范數(shù)與向量的2-范數(shù)是相容的.證明:因?yàn)楸本├砉ご髮W(xué)高數(shù)教研室根據(jù)Hoider不等式可以得到北京理工大學(xué)高數(shù)教研室北京理工大學(xué)高數(shù)教研室于是有例2：設(shè)是向量的范數(shù)，則滿足矩陣范數(shù)的定義，且是與向量范相容的矩陣范數(shù)。證明：首先我們驗(yàn)證此定義滿足范數(shù)的四條性質(zhì)。非負(fù)性，齊次性與三角不等式易證?，F(xiàn)在考慮矩陣范數(shù)的相容性。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室設(shè)，那么因此的確滿足矩陣范數(shù)的定義。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室最后證明與是相容的。由上面的結(jié)論可知這說(shuō)明與是相容的。定義：上面所定義的矩陣范數(shù)稱為由向

7、量范數(shù)所誘導(dǎo)的誘導(dǎo)范數(shù)或算子范數(shù)。由北京理工大學(xué)高數(shù)教研室向量P--范數(shù)所誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)稱為矩陣P--范數(shù)。即常用的矩陣P--范數(shù)為，和。定理：設(shè)，則（1）我們稱此范數(shù)為矩陣的列和范數(shù)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室（2）表示矩陣的第個(gè)特征值。我們稱此范數(shù)為矩陣的譜范數(shù)。（3）我們稱此范數(shù)為矩陣的行和范數(shù)。例1：設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室計(jì)算，，和。解：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室因?yàn)樗?。練?xí)：設(shè)或北京理工大學(xué)高數(shù)教研室分別計(jì)算這兩個(gè)矩陣的，，和。例2：證明：對(duì)于任何矩陣都有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室如何由矩陣范數(shù)構(gòu)造與之

8、相容的向量范數(shù)？定理：設(shè)是矩陣范數(shù)，則存在向量范數(shù)使得證明：對(duì)于任意的非零向量，定義向量范數(shù)，容易驗(yàn)證此定義滿足向量范數(shù)的三個(gè)性質(zhì)，且北京理工大學(xué)高數(shù)教研室例：已知矩陣范數(shù)求與之相容的一個(gè)向量范數(shù)。解：取。設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室那么矩陣的譜半徑及其性質(zhì)定義：設(shè)，的個(gè)特征值為，我們稱為矩陣的譜半徑。例1：設(shè)，那么北京理工大學(xué)高數(shù)教研室這里是矩陣的任何一種范數(shù)。例2：設(shè)是一個(gè)正規(guī)矩陣，則證明：因?yàn)楸本├砉ご髮W(xué)高數(shù)教研室于是有例3