向量范數(shù)與矩陣范數(shù).ppt

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1、§1.3向量范數(shù)與矩陣范數(shù)為了研究線性方程組近似解的誤差估計和迭代法的收斂性，我們需要對Rn中向量或Rn×n中矩陣的“大小”引進某種度量----向量或矩陣的范數(shù)。向量范數(shù)是三維歐氏空間中向量長度概念的推廣，在數(shù)值分析中起著重要作用。1.3.1向量范數(shù)向量的范數(shù)是刻畫向量大小的量,又叫向量的模.(1)正定性:,且;(2)齊次性:對,有;(3)三角不等式:.?定義Rn上的實值函數(shù)‖·‖稱為向量范數(shù)，如果對任意的x,y∈Rn,它均滿足下列3條性質:定理1.1對Rn中的任一向量則和都是向量范數(shù).記,,T,?3種常用的范數(shù)滿足正定性是顯然的.(

2、1)證明僅證是向量范數(shù).(2)對任意的實數(shù)k,有(3)設,則證畢?p-范數(shù)叫1-范數(shù),(列范數(shù));叫2-范數(shù),(Euclid(歐幾里得)范數(shù));叫-范數(shù),(行范數(shù));其中,練習:計算向量的各種范數(shù).?任2種范數(shù)在刻畫收斂性時等價定理1.2對Rn上的任意二種向量范數(shù)

3、

4、·

5、

6、a,

7、

8、·

9、

10、b,均有與向量x無關的常數(shù)m與M(0

11、‖稱為矩陣范數(shù)，如果對任意的矩陣A和B,它均滿足下列4條性質:正定性齊次性三角不等式積的范數(shù)小于等于范數(shù)的積?矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性?定義給定向量范數(shù)

12、

13、·

14、

15、和矩陣范數(shù)

16、

17、·

18、

19、,如果對任意的n維向量x和任意的n×n矩陣A，它們總滿足則稱所給的矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。定理1.3設在Rn中給定一種向量范數(shù)，對任意的n×n矩陣A，式(1.2)中定義的函數(shù)是一種矩陣范數(shù)，并且它與給定的向量范數(shù)是相容的.,單位球上的最大像值證明先證相容性.對任意的n×n矩陣A和n維非零向量y.由于所以有此結果對y=0也成立.再證(1.2)式定義的矩

20、陣函數(shù)為范數(shù).(1)當A=0時，

21、

22、A

23、

24、=0；當A≠0時，必有x0∈Rn，

25、

26、x0

27、

28、=1，滿足Ax0≠0，因而必有

29、

30、A

31、

32、>0.(2)對任意的數(shù)k∈R，有(3)對任意的n×n矩陣A和B,有(4)對任意的n×n矩陣A和B,有證畢上式所定義的矩陣范數(shù)叫做從屬于所給定向量范數(shù)的矩陣范數(shù),又稱為矩陣的算子范數(shù).設給定的向量范數(shù)為

33、

34、·

35、

36、p,則從屬于向量范數(shù)的矩陣范數(shù)為:上式中矩陣范數(shù)

37、

38、A

39、

40、p也叫A的p-范數(shù).矩陣的p-范數(shù)與向量的p-范數(shù)相容,即,

41、

42、Ax

43、

44、p≤

45、

46、A

47、

48、p·

49、

50、x

51、

52、p.定理1.4（幾種常用的范數(shù)）證明對于2-

53、范數(shù),設n維向量x滿足

54、

55、x

56、

57、2=1.注意到因為，ATA是正定或半正定的,故它的全部特征值li非負,設設（ATA）相應的規(guī)范正交特征向量為u1,u2,…,un，因而存在實數(shù)k1,k2,…,kn，使并且有由此可得所以取,則有,以及▼1,∞-范數(shù)公式證明證畢?單位矩陣I的任何一種算子范數(shù)都有?還有一種常用的矩陣范數(shù)，稱為Frobrnius（佛羅貝尼烏斯）范數(shù)，又稱為Euclid范數(shù)。注:不從屬于任何向量范數(shù)，即不是算子范數(shù).?幾種常用的相容關系定理1.5設矩陣A∈Rn×n的某種范數(shù)

58、

59、A

60、

61、<1，則I±A為非奇異矩陣，并且當該種范數(shù)為算

62、子范數(shù)時，還有下式成立。證明假定I±A奇異，則齊次線性方程組(I±A)x=0有非零解在上式兩邊同取與所用矩陣范數(shù)數(shù)相容的向量范數(shù)，得因，故由上式得。與已知條件矛盾，因而必非奇異。由于在最后一式兩端取范數(shù)，得因為，故同理可證證畢解例6設，求以及特征多項式為最大的根為練習:計算矩陣的各種范數(shù).對于1-范數(shù),設.矩陣A可表示為其中,定理1.4第1個結論的證明,且于是有■取,它的第r個分量是1,顯然對于∞-范數(shù),設向量,又設則取,其中,sgn是符號函數(shù),于是有,以及,所以■A≠0且第一章結束，再見！