向量與矩陣的范數(shù)ppt課件.ppt

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1、3.5向量與矩陣的范數(shù)一、.向量范數(shù)：對n維實空間Rn中任一向量X，按一定規(guī)則有一確定的實數(shù)與其相對應(yīng)，該實數(shù)記為

2、

3、X

4、

5、，若

6、

7、X

8、

9、滿足下面三個性質(zhì)：(1)(非負性)

10、

11、X

12、

13、?0，

14、

15、X

16、

17、=0當且僅當X=0。(2)(齊次性)對任意實數(shù)?，

18、

19、?X

20、

21、=

22、?

23、

24、

25、X

26、

27、。(3)(三角不等式)對任意向量Y?Rn，

28、

29、X+Y

30、

31、?

32、

33、X

34、

35、+

36、

37、Y

38、

39、則稱該實數(shù)

40、

41、X

42、

43、為向量X的范數(shù)幾種常用的向量范數(shù)：設(shè)X=(x1,x2,...,xn)T（1）向量的1—范數(shù)：（2）向量的2—范數(shù)：（3）向量的∞—范數(shù)：（4）向量的p—范數(shù)：(1≤p≤∞)例：設(shè)x=(1,-4,0,2)T求它的向量

44、范數(shù)=7=4注：前三種范數(shù)都是p—范數(shù)的特殊情況。其中向量范數(shù)的連續(xù)性:定理3.3設(shè)f(X)=

45、

46、X

47、

48、為Rn上的任一向量范數(shù),則f(X)為X的分量x1,x2,…,xn的連續(xù)函數(shù).定理3.4若

49、

50、X

51、

52、p與

53、

54、X

55、

56、q為Rn上任意兩種范數(shù)，則存在C1，C2>0，使得對任意X∈Rn，都有：C1

57、

58、X

59、

60、p≤

61、

62、X

63、

64、q≤C2

65、

66、X

67、

68、p（證明略）注：同樣有下列結(jié)論：存在C3,C4>0使得：C3

69、

70、X

71、

72、q≤

73、

74、X

75、

76、p≤C4

77、

78、X

79、

80、q向量范數(shù)的等價性注：上述性質(zhì)，稱為向量范數(shù)的等價性。也就是說，Rn上任意兩種范數(shù)都是等價的。在討論向量序列的收斂性時要用到向量范數(shù)的等價性。向量序列的收斂

81、問題定義：假定給定了Rn空間中的向量序列X(1),X(2),...,X(k),...，簡記為{X(k)}，其中X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若X(k)的每一個分量xi(k)都存在極限xi，即則稱向量X=(x1，x2，...，xn)T為向量序列{X(k)}的極限，或者說向量序列{X(k)}收斂于向量X，記為x1x2xn…………(k→∞)(k→∞)例：設(shè)解:顯然，當k→∞時，注：顯然有：定理3.5在空間Rn中，向量序列{X(k)}收斂于向量X的充要條件是對X的任意范數(shù)

82、

83、·

84、

85、，有：定理3.5在空間Rn中，向量序列{X(k)}收斂于向量X的充要條件是對X的任意

86、范數(shù)

87、

88、·

89、

90、，有：二、矩陣范數(shù)：設(shè)A是n?n階矩陣，A∈Rn×nX∈Rn，

91、

92、X

93、

94、為Rn中的某范數(shù)，稱為矩陣A的從屬于該向量范數(shù)的范數(shù)，或稱為矩陣A的算子，記為

95、

96、A

97、

98、。

99、

100、A

101、

102、=幾種常用的矩陣范數(shù)常用的矩陣范數(shù)有A的1—范數(shù)、A的2—范數(shù)、A的∞—范數(shù)，可以證明下列定理:定理3.6設(shè)A∈Rn×n，X∈Rn，則(又稱為A的列范數(shù))(λ為ATA的特征值中絕對值最大者)(又稱為A的行范數(shù))列元素絕對值之和的最大值行元素絕對值之和的最大值例：設(shè)A=求A的各種范數(shù)解：

103、

104、A

105、

106、1=6，

107、

108、A

109、

110、∞=7

111、λE-A’A

112、=0λ2-30λ+4=0——弗羅貝尼烏斯(Frobenius)范數(shù)簡稱

113、F范數(shù)注：弗羅貝尼烏斯(Frobenius)范數(shù)簡稱F范數(shù)幾種常用的矩陣范數(shù)：Matlab中計算矩陣的范數(shù)的命令(函數(shù))：(1)n=norm(A)矩陣A的譜范數(shù)(2范數(shù)),=A’A的最大特征值的算術(shù)根.(2)n=norm(A,1)矩陣A的列范數(shù)（1-范數(shù)）等于A的最大列之和.(3)n=norm(A,inf)矩陣A的行范數(shù)(無窮范數(shù))等于A的最大行之和.(4)n=norm(A,'fro')矩陣A的Frobenius范數(shù).例6.計算矩陣A的各種范數(shù)n1=norm(A,1),n2=norm(A),n3=norm(A,inf)，n4=norm(A,'fro')解：A=[1,2,3,4;2,3,

114、4,1;3,4,1,2;4,1,2,9];n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564矩陣范數(shù)的性質(zhì)：（1）對任意A∈Rn×n,有

115、

116、A

117、

118、≥0，當且僅當A=0時，

119、

120、A

121、

122、=0.（2）

123、

124、λA

125、

126、=

127、λ

128、

129、

130、A

131、

132、（λ為任意實數(shù)）（3）對于任意A、B∈Rn×n，恒有

133、

134、A+B

135、

136、?

137、

138、A

139、

140、+

141、

142、B

143、

144、.（4）對于矩陣A∈Rn×n，X∈Rn，恒有：

145、

146、AX

147、

148、?

149、

150、A

151、

152、?

153、

154、X

155、

156、.（5）對于任意A、B∈Rn×n恒有

157、

158、AB

159、

160、?

161、

162、A

163、

164、?

165、

166、B

167、

168、譜半徑：設(shè)n?n階矩陣A的特征值為?i(i=1,2,3……n),則稱ρ(A)=MAX

169、?i

170、為矩陣A的譜半徑.

171、1?i?n例5.求矩陣的譜半徑譜半徑=A的特征值中絕對值的最大者解:定理3.7設(shè)A為任意n階方陣，則對任意矩陣范數(shù)

172、

173、A

174、

175、，有：ρ(A)≤

176、

177、A

178、

179、矩陣范數(shù)與譜半徑之間的關(guān)系為:ρ(A)?

180、

181、A

182、

183、證:設(shè)λ為A的任意一個特征值,X為對應(yīng)的特征向量AX=λX兩邊取范數(shù),得:

184、

185、AX

186、

187、=

188、

189、λX

190、

191、=

192、λ

193、

194、

195、X

196、

197、

198、λ

199、

200、

201、X

202、

203、=

204、

205、λX

206、

207、=

208、

209、AX

210、

211、≤

212、

213、A

214、

215、

216、

217、X

218、

219、由X≠0,所以

220、

221、X

222、

223、>0,故有:

224、λ

225、≤

226、

227、A

228、

229、所以特征值