導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的錯(cuò)例剖析

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1、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的錯(cuò)例剖析摘要：導(dǎo)數(shù)的引進(jìn)無(wú)疑為中學(xué)數(shù)學(xué)注入了新的活力，但由于概念的抽象性，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不全面或?qū)︻}意理解不準(zhǔn)確，在應(yīng)用中出現(xiàn)一些錯(cuò)誤現(xiàn)象。本文對(duì)幾類常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，以期引起大家的注意，試圖對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)有所啟迪與幫助。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題；錯(cuò)例；剖析中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1674-9324(2013)52-0097-02導(dǎo)數(shù)的引進(jìn)無(wú)疑為中學(xué)數(shù)學(xué)注入了新的活力，但由于概念的抽象性，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不全面或?qū)︻}意理解不準(zhǔn)確，在應(yīng)用屮出現(xiàn)一些錯(cuò)誤現(xiàn)象。木文對(duì)兒類常見(jiàn)錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，以期引起大家的注意，試圖對(duì)

2、學(xué)生今后的學(xué)習(xí)有所啟迪與幫助。一、對(duì)單調(diào)性判定法則的理解發(fā)生偏差例1?搖判斷函數(shù)f(X)二X-COSX在定義域區(qū)間(-°°,+8)上的單調(diào)性。錯(cuò)解：f'(x)二1+sinx,當(dāng)x=2kJi+B(kez)時(shí)，f'(x)=0,不滿足f'(x)>0,所以f(x)=X-COSX不是單調(diào)函數(shù)。剖析錯(cuò)解：教科書(shū)中指出：“函數(shù)y二f(X)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f'(x)>0,則f(x)為增函數(shù)；如果f‘(x)0,那么f(x)仍是增函數(shù)。正解：f‘(x)二1+sinx,僅當(dāng)X二2kJi+?(kez)時(shí)，r(x)二0,所以f‘(x)20,從而f(x)

3、二x-cosx是增函數(shù)。二、忽視導(dǎo)數(shù)的幾何意義例2?搖已知曲線f(x)二2x3-3x,過(guò)點(diǎn)M(0,32)作曲線f(x)的切線，求切線的方程。錯(cuò)解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：k二「(0)二-3所以曲線的切線方程為Y=-3x+32o剖析錯(cuò)解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上該點(diǎn)的切線的斜率，因此要注意此點(diǎn)是不是在曲線上。正解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為N(x0,2x03-3x0),則切線斜率為k二f‘(x0)二6x02-3切線方程為y二(6x02-3)x+32又點(diǎn)N在切線上，故冇：2x03-3x0=(6x02-3)xO+32,得x0二-2所以切線方程為y二21X+32

4、。三、忽視閉區(qū)間上極值與最值的關(guān)系例3?搖求函數(shù)f(x)二x3-2x2+x在［-3,3］上的最值。錯(cuò)解:f'(x)二3x2-4x+l令f'(x)二3x2-4x+l二0解得x=l,x=B所以，極值點(diǎn)為x二1與x二?。因?yàn)閒(1)=0,f(■)=■所以函數(shù)的最大值為■,最小值為0。剖析錯(cuò)解：閉區(qū)間上的最值問(wèn)題是極值點(diǎn)處的函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，然后取其最大值和最小值，而不能簡(jiǎn)單地把極值等同于最值。正解：f‘(x)=3x2-4x+l=o令f'(x)=0解得X二1,x=?所以，極值點(diǎn)為X=1與x=?所以f(1)二0,f(■)=■F(

5、-3)=-48,f(3)=12所以函數(shù)的最大值為12,最小值為-48。四、給定區(qū)間是單調(diào)區(qū)間的全集還是子集例4?搖若函數(shù)f(x)=x3-mx2+2m2-5的遞減區(qū)間是(-9,0),求m。錯(cuò)解:f'(x)=3x2~2mx<0得?m

6、f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(■m,0),所以二-9五、注意單調(diào)性的充要條件例5已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-l(a>0),且f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍。錯(cuò)解：f'(x)二3x2+2ax+3〉0,得厶=4a2~4X3X3<0,所以a2<9,即0剖析錯(cuò)解：錯(cuò)在沒(méi)有考慮f‘(x)=0正解：f‘(x)二3x2+2ax+3,因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以(x)20在R上恒成立。得厶二4a2-4X3X3W0故&2W9,即0六、導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)例6?搖已知函數(shù)f(x)二x3+ax2+bx+a2在x=l處有極值為

7、10,求f(x)o錯(cuò)解：f‘(x)二3x2+2ax+b則?搖f'(1)=0?圮3+2a+b二Of(1)=10?圮l+a+b+a2=10?搖所以a=4b=-ll或a二-3b二3所以f(X)二x3+4x2-llx+16或f(x)=x3-3x2+3x+9o剖析錯(cuò)解：錯(cuò)解在于認(rèn)為導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)就是極值點(diǎn)。實(shí)際上導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)只是存在極值可疑點(diǎn)，若它的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，它才為極值點(diǎn)；若同號(hào),則不為極值點(diǎn)。正解:求出a,b得解析式后，應(yīng)再看f'1(x)二3x2+8xTl二(3x+l)(x-l),f'2(x)二3x2-6x+3二3(x-1)2,易知f'2

8、(x)在x的兩側(cè)同號(hào)，所以x二1不是f(x)的極值點(diǎn)，故f(x)二x3+4x2-llx+16為所求。