關(guān)于矩陣秩_不_等式的分塊矩陣構(gòu)造證明

《關(guān)于矩陣秩_不_等式的分塊矩陣構(gòu)造證明》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、Vol111,No13高等數(shù)學(xué)研究May,2008STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS11*關(guān)于矩陣秩(不)等式的分塊矩陣構(gòu)造證明王廷明(青島大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系山東青島266071)摘要利用構(gòu)造分塊矩陣并通過廣義初等變換的方法,證明矩陣秩的(不)等式.關(guān)鍵詞矩陣的秩;分塊矩陣;(不)等式;廣義初等變換中圖分類號(hào)O151121矩陣的秩是矩陣的一個(gè)重要的數(shù)字特征,建立并證明矩陣秩的(不)等式是矩陣秩問題討論的[1]-[3]一個(gè)重要方面.本文利用由矩陣秩的(不)等式中的某些矩陣構(gòu)造的一個(gè)分塊矩陣,通過分塊矩陣的廣義初等變換證明矩陣秩的(不)等式.

2、在本文中,設(shè)F為一般的數(shù)域,In表示n階單位矩陣,r(M)表示矩陣M的秩.首先,關(guān)于分塊矩陣的秩,下列結(jié)論是基本的.定理1分塊矩陣的下列結(jié)論成立:m@n(1)設(shè)AiIFii,i=1,2,,,t.則tmax{r(A1),r(A2),,,r(At)}Fr(A1,A2,,,At)FEr(Ai)i=1m@n(2)設(shè)AiiiIF,i=1,2,,,t,tE2.則A10tA2r=Er(Ai)wi=10Atm@n定理2設(shè)AiIFii,i=1,2,,,t,tE2.則A1*ttA2Er(Ai)FrFminr(Ai)+Emji=1,2,,,ti=1wj=1jXi0At證明對(duì)t用數(shù)

3、學(xué)歸納法證明左側(cè)不等式.當(dāng)t=2時(shí),令r(A1)=r1,則存在可逆矩陣P,Q,使Ir01PA1Q=00故Ir01P0A1BQ0PA1QPBPB==000Im0A20In0A2220A2*收稿日期:2003-12-0112高等數(shù)學(xué)研究2008年5月B1令PB=,其中B1,B2分別為r1@n2階和(m1-r1)@n2階矩陣.從而B2Ir0B1Ir001100B2y00B20A20A2故Ir10A1B0B2r=r0B2=r1+rEr(A1)+r(A2)0A200A20A2歸納假設(shè)結(jié)論對(duì)t-1成立.則A1*A1*tA2rErw+r(At)EEr(Ai)wi=10At

4、-10At從而左側(cè)不等式成立.對(duì)右側(cè)不等式,由Im0A1*1A1*wwA2=AiIniwww0Ak0Imt0At故Im01A1*wtA2rFrAi=r(Ai)+Emj,i=1,2,,twj=1jXiw0Ak0Imt從而結(jié)論成立.A10tSA2對(duì)形如Er(Ai)Err(Bj)的矩陣秩的不等式,可以構(gòu)造分塊矩陣M=,i=1J=1w0Ak第11卷第3期王廷明:關(guān)于矩陣秩(不)等式的分塊矩陣構(gòu)造證明13B1*B2對(duì)M進(jìn)行廣義初等變換,化為,則由定理2可得w0BsB1*tBs2rr(Ai)=r(M)=rEEr(Bj)i=1wj=10Bs下面舉例說明上述方法的應(yīng)用.例1

5、設(shè)矩陣Am@n,Bn@s,Cs@t.證明矩陣秩的Frobenius不等式:r(ABC)Er(AB)+r(BC)-r(B)(1)B0證明顯然(1)等價(jià)于r(B)+r(ABC)Er(AB)+r(BC),故令M=.對(duì)M進(jìn)行0ABC廣義初等變換:B0B0B-BCBCByyy0ABCABABCAB00AB故BCBr(B)+r(ABC)=r(M)=rEr(AB)+r(BC)0AB移項(xiàng)可得(1)成立.例2設(shè)Am@n.則r(Im-AAc)-r(In-AcA)=m-n(2)Im-AAc0證明由于(2)等價(jià)于r(Im-AAc)+n=r(In-AcA)+m,故令M=.對(duì)0InM進(jìn)

6、行廣義初等變換:Im-AAc0Im-AAcAImAImoImoM=yyyy0In0InAcInAcIn-AcA0In-AcA故Im-AAc0Imor(M)=r=r(Im-AAc)+n=r=r(In-AAc)+m0In0In-AcA移項(xiàng)可得(2)成立.對(duì)某些矩陣秩的不等式,也可以先將上述矩陣M通過廣義初等變換化為矩陣G,再構(gòu)造分塊矩陣K進(jìn)行過渡,并對(duì)KG進(jìn)行廣義初等變換,即14高等數(shù)學(xué)研究2008年5月B1*B2KGyw0BsB1*tsB2則Er(Ai)=r(M)=r(G)Er(KG)=rEEr(Bj)i=1wj=10Bsn@n例3設(shè)A、BIF,且A、B可以交

7、換.則r(AB)Fr(A)+r(B)-r(A+B)(3)證明由于(3)等價(jià)于r(A)+r(B)Er(AB)+r(A+B),故由A0ABA+BBM=yy0B0BBB及AB=BA,則In0A+BBA+BIn=B-(A+B)BB0-AB故A+BBA+BInr(A)+r(B)=r(M)=rErEr(AB)+r(A+B)BB0-AB移項(xiàng)可得(3)成立.另外,還可以通過構(gòu)造分塊矩陣與矩陣秩的基本性質(zhì)相結(jié)合的方法對(duì)矩陣秩的某些(不)等式進(jìn)行證明.n@n例4設(shè)A,B,CIF且r(C)=n,A(BA+C)=0.則r(BA+C)=n-r(A)(4)證明由A(BA+C)=0及矩陣

8、秩的基本性質(zhì)得r(A)+r(BA+C)Fn.又由r(