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1、··景德鎮(zhèn)高專學(xué)報(bào)1995年第4期自然科學(xué)版用分塊矩陣證明矩陣秩的若干定理錢柯:,摘要本文運(yùn)用分塊矩陣證明矩陣扶的若干定理使矩陣扶的命題證明過程簡(jiǎn)、一、。潔致易于掌握,;關(guān)于矩陣秩的命題的證明有的用向量組的極大無關(guān)組有的用齊次線性方程組的基礎(chǔ),。,:解系有的用矩陣的初等變換等等這里用分塊矩陣法其思路是將矩陣秩的有關(guān)條件轉(zhuǎn),由分塊矩陣秩的有關(guān)性質(zhì)得出有關(guān)的結(jié),換成分塊矩陣秩的有關(guān)條件論再將結(jié)論轉(zhuǎn)化為矩陣秩的結(jié)論,從而使命題。得證,,為了表述方便約定用R(助表示矩陣月的秩Es表示S階單位方陣;三個(gè)基本命題作:為引理,,引理1兩個(gè)矩陣乘積的秩不大于
2、每一因子的秩特別當(dāng)有一個(gè)因子是可逆矩陣時(shí)乘積的秩等于另一個(gè)因子的秩。。、,,一、*、。,、。引理2(君曇),,引理3在一個(gè)分塊矩陣中若把每個(gè)塊看成一個(gè)元素則進(jìn)行通常的初等變換仍不改變矩陣的秩。以上三個(gè)引理的證明在一般高等代數(shù)書上都可以找到。下面對(duì)矩陣秩的若干定理運(yùn)用分塊矩陣進(jìn)行證明。、,,定理l設(shè)月B都是m又矩陣則R(A十B)鎮(zhèn)R(A)十R(B):證明A+B、?！瓸丫R(月十B)一R言g)(引理2)Og)(一一R(月)+RB)0心盆)心公)(引理3)’B{}凡A+BO}}、OB從琉B(yǎng)O/收稿:1995-es0701:日期一作者單位景德鎮(zhèn)高?！?/p>
3、.’R(忍瑟)荊了急)(引理l)。…R(A十B)成R(A)+R(B)成立、,定理2設(shè)月Bm義:則都是矩陣R(A一B))R(月)一R(B):證明由R(A)=R[(A一刀)+刀]成R(A一刀)+幾叨)(定理l)。:R(A一B))R(A)一R(刀)、、,,。,*,,定理3設(shè)月BC分別是義mm又義t矩陣則R“C‘人J刀OBCO=1八1刀乃尹州R(廠一:AB必司特別有瑟助E.,了、.‘勝口l、矛、J、聲、,.r、CO、了1,.口OBCO1一Al證明一.(分及而是陣(含洲。一.’{管g)城盆g)(引理1),另設(shè)B一E就有。一成立戒盤g)城曇藝)、,,:,
4、,:定理4設(shè)AB分別是二義義矩陣則R(AI]))R(A)+R(B)一:·:證明:;(,)+:(。)、(引理2,(孟盆)、才、了,.日…:AB)。R尹又:(A。)+一(+(二)一O月刀l(E.E.月0oAB一R((定理3)刀亨r、了、又及O刀凡AOB一.(孟喲一凡而(含繃是可逆矩陣、月E.OB沙、功伙幼舒)vl.’R了‘、(引理l)(孟價(jià)一l。:R(A)+R毛R(AB)+:。.RAB幾+幾(刀)一::())成立、:,:。,,兒推論1設(shè)AB分別是。義義矩陣且AB~口則R(A)+R(I1)鎮(zhèn)(定理4)2A:,E,RRA:推論設(shè)是階方陣且矛~則(A+
5、E)+(一E)~,:一E…。證明由于矛(A+E)(A一E)一.‘.,R(A+E)+R(A一E)RA+E)(A一E)=R(O)+,鎮(zhèn)[(j+”一(定理4),A,.:另一方面是可逆矩陣、R(A)一12.’.:=幾(2滋)一況[(月+E)+(A一E)」成R(月+E)+R(A一E)(定理1):.R(月+E)+R(A一E)~,成立。:,,推論3設(shè)月為階方陣且矛一A則R(月)+R(A一E)=”:,.證明由于矛~A,.A(A一E)二O.:R(A)+R(A一E)蕊R月(A一E+:一:(定理4)〔)],:一R(E.)一R另一方面(A十E.一勸成R(A)十R(從
6、一A)(定理1)=R(A)+R(A一E.).。:R(A)+雙(A一E)~,成立、、,,,定理5設(shè)月Bc依次是:義,mx;,義t矩陣則R(A理))R(月刀)+R(膨)一R(B):證明.::。。:。朋。十、)、(管層)(引理2)乎,廳,、,r,、尹矛、了、O月B,招召zAlr又,..R(A膨)+R(B)~RO月2匯了(定理3)O、月刀月刀口一又而阿油.(BO)(含習(xí)(管劇C是可逆矩陣一凡一.,l(節(jié)喲It(管劍(引理1):.R(朋)十R(那)成R(月那)+R(B)、’.刀z匯。伽,))R(AB)+斤(肥)一R(召)成立、、,,,。推論4設(shè)ABc都
7、是階方陣若R(月)一R(朋)則君(淞)=R(及花甲):’.’通‘幾R(shí)(幾(月)證明R切))(朋)+淞)一(定理5)又丫R(川=R(朋).R:(召月C))兒(淞),又丫矩陣腸變7可以看成是矩陣B與矩陣AC的乘積有R娜月c)鎮(zhèn)R(崖少)(引理1).’。R(召月口)~R(AC)成立、,,,。定理6設(shè)月B,又m,又。矩陣則R(AB)成刀(A)+R(的分別是:證明‘且..f口、了、zI、,J戶.‘1’,、了lA0OB召O.’R(AB)簇刀(引理3)一R(月)+R(B)。R,。一(月B)毛R(A)+R(B)成立、,定理7設(shè)AB,階方陣則R(A刀一從)鎮(zhèn)R
8、(A一E.)+R(I]一從)都是:證明“A刀一凡丫R(AB一及)-g)(OR月刀一E.(B一凡g),另一方面“AO況A兒.一凡(一及)+(刀一E)-(O刀一E.RA
