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《若干矩陣乘積的秩的下界》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、第21卷第1期 佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol.21No.12003年3月 JournalofFoshanUniversity(NaturalScienceEdition)Mar.2003文章編號(hào):100820171(2003)0120009203若干矩陣乘積的秩的下界韓 清(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系,廣東佛山528000)摘要:討論了若干矩陣乘積的秩的下界估計(jì),推廣了Sylvester和Frobenius的相關(guān)結(jié)論,得出了兩種一般情形下矩陣乘積的秩的下界的估計(jì)。關(guān)鍵詞:矩陣;秩;Sylvester定律;Frobenius不等式中圖分類號(hào):O
2、156文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A在線性代數(shù)和矩陣論中,秩(rank)是一個(gè)基本的概念。矩陣的秩是矩陣最重要的數(shù)字特征之一。它[1]最早是由Sylvester于1861年引進(jìn)的。有關(guān)矩陣秩的問題往往牽涉到比較復(fù)雜的技巧,處理起來通常比較困難。本文將討論若干矩陣乘積的秩的下界問題。本文用記號(hào)r(A)表示矩陣A的秩。設(shè)有n個(gè)矩陣A1,?,An,而且它們可以依順序相乘。通常乘積A1?An的秩r(A1?An)很難直接計(jì)算出來。因此,給出其估計(jì)是一種考慮的方法。對(duì)于n為2和3這兩種特殊的情形,Sylvester和Frobenius分別給出了很好的結(jié)果,即后面的定理1和定理3。本文在
3、此基礎(chǔ)上分別推廣了他們的結(jié)果,得出了一般情形下r(A1?An)的下界估計(jì),即以下的定理2和定理5。對(duì)于n=2,即兩個(gè)矩陣乘積的情形,最重要的估計(jì)是所謂的Sylvester定律。它是由Sylvester于[2]1884年首先證明的。定理1(Sylvester定律) 設(shè)矩陣A1的列數(shù)和A2的行數(shù)都是k2,則r(A1A2)≥r(A1)+r(A2)-k2,(1)r(A1A2)≤min(r(A1),r(A2))。(2) 定理1的結(jié)果是關(guān)于兩個(gè)矩陣乘積的秩的一個(gè)很漂亮的估計(jì),已經(jīng)成為線性代數(shù)和高等代數(shù)教科[3]書中的經(jīng)典結(jié)論。式(2)說明了矩陣相乘秩要減少。對(duì)于式(1
4、),許多文獻(xiàn)給出了各種各樣的證明,基本上都采用了化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形的思路。式(1)給出了r(A1A2)的一個(gè)下界。由此出發(fā),可以得出以下的一個(gè)直接推廣。定理2設(shè)n,k1,?,kn+1都是正整數(shù),A1是ki×ki+1矩陣,i=1,2,?,n。則nnr(A1A2?An)≥∑r(A1)-∑ki。(3)i=1i=2 證明 對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)n=1時(shí),式(3)即r(A1)≥r(A1),當(dāng)然成立。假設(shè)對(duì)于n的情形式(3)成立?？紤]n+1的情形。由式(1)與(3),有r(A1A2?AnAn+1)≥r(A1A2?An)+r(An+1)-kn+1≥nnn+1n+1(∑r(
5、Ai)-∑ki)+r(An+1)-kn+1=∑r(Ai)-∑ki。i=1i=2i=1i=2收稿日期:2002211220基金項(xiàng)目:廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(011781)作者簡(jiǎn)介:韓清(19642),男,江西九江人,佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院副教授,博士,主要從事數(shù)論的理論與應(yīng)用基礎(chǔ)方面的研究。?1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.10佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) 第21卷即式(3)對(duì)n+1的情形也成立。定理證畢。定理2給出了一般的關(guān)于n個(gè)矩陣乘積的秩的下界
6、的一個(gè)估計(jì)。在式(3)中令n=2,即得式(1)。所以,式(3)是式(1)的推廣。在式(3)中令n=3,可以得出關(guān)于3個(gè)矩陣乘積的秩的下界的一個(gè)估計(jì),即r(A1A2A3)≥r(A1)+r(A2)+r(A3)-(k2+k3)。(4)[2]而Frobenius于1961年證明了一個(gè)比上式更好的結(jié)果。定理3r(A1A2A3)≥r(A1A2)+r(A2A3)-r(A2)。(5) 在式(5)中取A2為單位矩陣,即可推出式(1)。所以,定理3也是式(1)的一個(gè)推廣。設(shè)矩陣A2,A3的行數(shù)分別為k2,k3,則由式(1),有r(A1A2)+r(A2A3)-r(A2)≥(r(
7、A1)+r(A2)-k2)+(r(A2)+r(A3)-k3)-r(A2)=r(A1)+r(A2)+r(A3)-(k2+k3)?！ ∵@說明Frobenius對(duì)于3個(gè)矩陣乘積的秩的下界的估計(jì)(式(5))要優(yōu)于式(4),即為式(3)中n=3的情形。在式(3)中,令n=4,可得出關(guān)于4個(gè)矩陣乘積的秩的下界估計(jì)r(A1A2A3A4)≥r(A1)+r(A2)+r(A3)+r(A4)-(k2+k3+k3)。(6) 利用定理3,可以得出比式(6)更好的結(jié)果。定理4r(A1A2A3A4)≥r(A1A2)+r(A2A3)+r(A3A4)-r(A2)-r(A3)。(7) 證明
8、 由式(5),有r(A1A2A3A4)=r(A1A2
