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《2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)16拋物線的幾何性質(zhì)(二)(含解析)新人教B版》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、課時(shí)分層作業(yè)(十六) 拋物線的幾何性質(zhì)(二)(建議用時(shí):60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),則
2、AF
3、·
4、BF
5、的最小值是( )A.2 B. C.4 D.2C [設(shè)直線AB的傾斜角為θ,可得
6、AF
7、=,
8、BF
9、=,則
10、AF
11、·
12、BF
13、=×=≥4.]2.已知拋物線x2=ay與直線y=2x-2相交于M,N兩點(diǎn),若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則此拋物線方程為( )A.x2=y(tǒng)B.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3yD [設(shè)
14、點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y,得x2-2ax+2a=0,所以==3,即a=3,因此所求的拋物線方程是x2=3y.]3.已知拋物線y2=2x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則
15、AB
16、的最大值為( )A.1B.2C.3D.4D [設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3,利用拋物線的定義可知,
17、AF
18、+
19、BF
20、=x1+x2+1=4,由圖可知
21、AF
22、+
23、BF
24、≥
25、AB
26、?
27、AB
28、≤4,當(dāng)且僅當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)F時(shí),
29、AB
30、取得最大值4.]4.直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A
31、,B兩點(diǎn),若
32、AB
33、=4,則弦AB的中點(diǎn)到直線x+=0的距離等于( )A.B.2C.D.4C [易知直線4kx-4y-k=0過拋物線y2=x的焦點(diǎn),∴
34、AB
35、為焦點(diǎn)弦.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則AB中點(diǎn)N,∴
36、AB
37、=x1+x2+p=4.∴=.∴AB中點(diǎn)到直線x+=0的距離為+=.]5.已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交的公共弦長等于2,則拋物線的方程為( )A.y2=3x或y2=-3xB.y2=-3xC.y2=6xD.y2=6x或y2=-6xA [設(shè)所求拋
38、物線的方程為y2=2mx(m≠0),設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),則
39、y1
40、+
41、y2
42、=2,即y1-y2=2,由對(duì)稱性知y2=-y1,∴y1=.將y1=代入x2+y2=4,得x=±1,將點(diǎn)(1,),(-1,)分別代入方程y2=2mx中,得3=2m或3=-2m,解得m=或m=-.故所求拋物線的方程為y2=3x或y2=-3x.]二、填空題6.已知直線x-y+1=0與拋物線y=ax2相切,則a=______.- [由得ax2-x-1=0.令Δ=1+4a=0,得a=-.]7.已知焦
43、點(diǎn)為F的拋物線y2=4x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則
44、AB
45、的最大值為________.6 [設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4,那么
46、AF
47、+
48、BF
49、=x1+x2+2,又
50、AF
51、+
52、BF
53、≥
54、AB
55、?
56、AB
57、≤6,當(dāng)AB過焦點(diǎn)F時(shí)取得最大值6.]8.已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(1,0),直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)為(2,2),則直線l的方程為________.y=x [∵焦點(diǎn)F為(1,0),∴拋物線方程為y2=4x.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
58、,則y=4x1,y=4x2,兩式相減得y-y=4(x2-x1).整理得=,由于kAB=,而AB中點(diǎn)為(2,2),所以y2+y1=4,于是kAB==1,因此直線l的方程為y-2=x-2,即y=x.]三、解答題9.設(shè)拋物線C:y2=4x,F(xiàn)為C的焦點(diǎn),過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn).(1)設(shè)l的斜率為1,求
59、AB
60、的值;(2)求證:·是一個(gè)定值.[解] (1)由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),∴直線l的方程為y=x-1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,
61、由直線l過焦點(diǎn),得
62、AB
63、=
64、AF
65、+
66、BF
67、=x1+x2+2=8.(2)證明:設(shè)直線l的方程為x=ky+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4ky-4=0.∴y1+y2=4k,y1y2=-4,=(x1,y1),=(x2,y2).∵·=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3,∴·是一個(gè)定值.10.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)(x≥0)到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動(dòng)點(diǎn)
68、P的軌跡C的方程;(2)過點(diǎn)F的直線l與軌跡C相交于不同于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩點(diǎn)A,B,求△AOB面積的最小值.[解] (1)∵平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1,∴當(dāng)x≥0時(shí),點(diǎn)P到F的距離等于點(diǎn)P到直線x=-1的距離,∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線,方程為y2=4x(x≥0).∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x(x≥0).(2)設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,y2),過點(diǎn)F的直線