《變步長求積公式》PPT課件

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1、7.4變步長求積公式復(fù)合求積公式隨著n的增加可以減少積分誤差，但高階N-C公式又會造成數(shù)值不穩(wěn)定，因而采用復(fù)合求積公式。復(fù)化梯形公式復(fù)化辛普森公式上面的求積公式都是定長的，要達(dá)到某個精度，則必須選取適當(dāng)?shù)拈L度，但是這是一件不容易達(dá)到的事情。復(fù)合求積公式的截斷誤差隨著n的增大而減少。但沒給一種積分方法之后，如何選擇n，使精度達(dá)到預(yù)先選定的精度？1用誤差估計式子。但是要求高階導(dǎo)數(shù)，一般實(shí)比較困難的。2在實(shí)際中一般采用自動選擇積分步長。即在求積的過程中，將步長逐步折半，反復(fù)利用復(fù)合求積公式，直到相鄰兩次的計算結(jié)果之差小

2、于容許的范圍。變步長復(fù)合梯形求積時，通常采取將區(qū)間不斷對分(一分為二)的方法，即取n=2k,注意到區(qū)間再次對分時，有:如此類推,可得變步長的梯形公式為遞推公式因此，若給定精度ε,則以遞推公式計算積分近似值，直至終止計算，并以當(dāng)前值為近似值。復(fù)合求積方法是用于被積函數(shù)變化不太大的積分.如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩，這時統(tǒng)一將區(qū)間等份用復(fù)合求積公式計算工作量就會很大.要達(dá)到誤差要求對變化劇烈部分必須將區(qū)間細(xì)分，而平緩部分則可用大步長，即針對被積函數(shù)在區(qū)間上不同情形采用不同

3、的步長，使得在滿足精度前提下積分計算的工作量盡可能小.7.4.2自適應(yīng)simpson公式針對這類問題的算法技巧是在不同區(qū)間上預(yù)測被積函數(shù)變化的劇烈程度確定相應(yīng)的步長.這種方法稱為自適應(yīng)積分方法.設(shè)給定精度要求，計算積分的近似值.先取步長，應(yīng)用辛普森公式有其中若把區(qū)間對分，步長，在每個小區(qū)間上用辛普森公式，則得（7.31）（7.32）實(shí)際上(7.32)即為與(7.31)比較，若在上變化不大，可假定其中（7.32）’從而可得若不等式(7.33)不成立，則應(yīng)分別對子區(qū)間及再用辛普森公式，此時步長,得到這里.如果有則可期

4、望得到與(7.32)比較，則得此時可取作為的近似，則可達(dá)到給定的誤差精度.(7.33)及.只要分別考察及是否成立.對滿足要求的區(qū)間不再細(xì)分，對不滿足要求的還要繼續(xù)上述過程，直到滿足要求為止，最后還要應(yīng)用龍貝格法則求出相應(yīng)區(qū)間積分的近似值.