題淺談高考中的數(shù)學(xué)建模問

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1、淺談高考中的數(shù)學(xué)建模問題寧波鄭州正始屮學(xué)數(shù)學(xué)組一王伍成函數(shù)是高屮數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，涉及函數(shù)的應(yīng)用問題，題源豐富，背景深刻，題型新穎，解法靈活，是歷年高考命題的熱點之一，同吋也是考生失分較多的一種題型。應(yīng)用題與現(xiàn)實生活聯(lián)系密切，它不僅能培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實際問題的能力，還能提高學(xué)牛的思維素質(zhì)。一般來說，高考屮的函數(shù)應(yīng)用題往往是以現(xiàn)實生活為原型設(shè)計的，其口的在于考查學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的閱讀、理解、表達(dá)與轉(zhuǎn)化能力，求解時i般按以下幾步進(jìn)行：（1）閱讀理解、認(rèn)真審題；（2）利用數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的相關(guān)方法將得到的

2、常'見數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果。而解答這類問題的要害就在于理解題意，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。下面略舉數(shù)例談?wù)労瘮?shù)建模在?；詈透呖煎膽?yīng)用。1、優(yōu)化問題實際問題中的“優(yōu)選”“控制”等問題，常需建立“不等式模型”或“線性規(guī)劃”問題解決例1、（1996年全國高考題）某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%,如果人口年增長率為1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？（糧食單產(chǎn)二總產(chǎn)量/總面積，人均糧食占有量二總產(chǎn)量/總?cè)丝跀?shù)

3、）。（平均增長率問題：如果原來人口的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,則對于吋間x的人口量為y=N（l+p）x.）分析：人口是以年增長率計算，土地是以每年減少的畝數(shù)計算，因此可以這樣理解：人口是以幾何級數(shù)（等比數(shù)列）增長，土地是以算術(shù)級數(shù)（等差數(shù)列）減少。木題的解答關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)現(xiàn)在總?cè)丝跒镻人吋，10年后總?cè)丝跒閜（l+0?01）*°；現(xiàn)在人均糧食占有量為bt（噸）11寸，10年后則為6（l+10%）t；現(xiàn)在耕地共10’公頃，設(shè)每年允許減少xhall寸，10年后耕地將共有（104-10x）公頃；現(xiàn)有單產(chǎn)為Mt噸/公頃，

4、10年后單產(chǎn)為MX（l+22%）t/公頃。設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，乂設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為p人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。解：依題意得不等式答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均毎年至多只能減少4公頃。本題也可屬于預(yù)測問題，通過建立數(shù)列模型和不等式模型來解決問題。2、最（極）值問題工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設(shè)及實際生活中的極限問題常設(shè)計成“函數(shù)模型”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。例2、（2007年福建高考）某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且毎件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費，預(yù)計當(dāng)毎件產(chǎn)品的售價為元（）時，一年的銷售量為力?件.（1）求

5、分公司一年的利潤（萬元）與毎件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關(guān)系式;（11）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值分析：總利潤二每一件的利潤X銷售量二（每一件的售價-成本-管理費）X銷售量解：（1）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關(guān)系式為：（11）■令得或（不合題意，舍去）.,?在兩側(cè)的值由正變負(fù).所以（1）當(dāng)即時，■（2）當(dāng)即時，所以答：若，則當(dāng)每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若,則當(dāng)每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（刀元）本題利用導(dǎo)數(shù)來求三次函數(shù)的最值。3、預(yù)測問題經(jīng)

6、濟(jì)計劃、市場預(yù)測這類問題通常設(shè)計成“數(shù)列模型”來解決例3、（2002年全國理科）某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%,并且毎年新增汽車數(shù)量相同。為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么毎年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？解：設(shè)2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，???，每年新增汽車刀輛，則對于，有所以當(dāng)，即時O當(dāng)，即時數(shù)列逐項增加，可以任意靠近因此，如果要求汽車保有量不超過60刀輛，即()則，即萬輛綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過萬輛。4、等

7、量關(guān)系問題建立“方程模型”解決，通過題目中的等量關(guān)系建立方程，再通過方程整理出函數(shù)關(guān)系式或解方程來解決問題。例4、(1995年全國高考題)某地為促進(jìn)淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼，設(shè)淡水魚的市場價格為x元/kg,政府補(bǔ)貼為t元/kg,根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)8WxW14時，淡水魚的市場日供應(yīng)量P：＜g與市場日需求量4近似地滿足關(guān)系P=1000(x+t-8),(x28,tMO)當(dāng)P二Q時的市場價格稱為市場平衡價格。(1)將市場平衡價格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域；(2)為使市場平

8、衡價格不高于每千克10元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？分析：從數(shù)學(xué)的角度理解政府補(bǔ)貼t的含義，可與稅收聯(lián)系起來，當(dāng)t>0時，則是補(bǔ)貼，意在扶植促進(jìn)某個行業(yè)的發(fā)展，如果認(rèn)0時，則是課稅，為政府積累資金。解：（1）依題設(shè)，有解得tai或tW-5,由于tMO,知tai,從而政府補(bǔ)貼至少為每千克1元。5、測量問