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《單墫老師教你學(xué)數(shù)學(xué) 覆蓋》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。
1、!!!!$目!錄總序!0前言!00!!覆蓋!0#!!嵌入!#$!!!一些例題!!":!!凸集!202!!密度!"2"!!海萊"@’AAB#定理及其應(yīng)用!31習(xí)題!13習(xí)題解答概要!0$$!!!!!!覆!蓋在前言中已經(jīng)提到圓的覆蓋問(wèn)題!圓是最簡(jiǎn)單而又用得最多的圖形!為了明確起見(jiàn)!在本書(shū)中!我們把到定點(diǎn)"的距離等于定長(zhǎng)#的點(diǎn)的集合稱為圓周!把圓周及其內(nèi)部!也就是到定點(diǎn)"的距離"#的點(diǎn)的集合稱為圓!并記為#""!##或#"!"稱為圓心!#稱為半徑!同樣地!本書(shū)中說(shuō)到的三角形$多邊形$橢圓!也都是同時(shí)包括了這些圖形的邊
2、界及其內(nèi)部的!而不單是指圍成這些圖形的邊界!在本書(shū)中要遇到的圖形是多種多樣的!它們都是點(diǎn)的集合"點(diǎn)集#!現(xiàn)在我們給出覆蓋的嚴(yán)格的定義!定義$!%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%設(shè)$$%是兩個(gè)點(diǎn)集!如果點(diǎn)集$的每一個(gè)點(diǎn)都屬于點(diǎn)集%"采用集合論的符號(hào)寫(xiě)!就是$&%#!那么我們就說(shuō)點(diǎn)集%覆蓋"包含#點(diǎn)集$!如果點(diǎn)集$的點(diǎn)不全屬于點(diǎn)集%!那么我們就說(shuō)點(diǎn)集%不覆蓋"不包含#點(diǎn)集$!點(diǎn)集%"不#覆蓋點(diǎn)集$!也常常說(shuō)成點(diǎn)集$"不#被點(diǎn)集%覆蓋!我們舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子!如果點(diǎn)集$由一個(gè)點(diǎn)"組成!點(diǎn)集%為#""!##!圓顯然
3、!!!!"覆蓋自己的圓心!所以點(diǎn)集%覆蓋點(diǎn)集$!如果點(diǎn)集$為#""!#!#!點(diǎn)集%為#""!###!##’#!!即點(diǎn)集$$%是同心圓!那么點(diǎn)集%覆蓋點(diǎn)集$!這是因?yàn)辄c(diǎn)集$的任一點(diǎn)&到圓心"的距離"&"#!!但是#!"##!所以"&"##!這就是說(shuō)&圖!"!屬于點(diǎn)集%"圖!"!#!如果$覆蓋%!%又覆蓋$!那么$$%就是完全相同的圖形了!這一點(diǎn)從直觀上看很顯然!它和集合論中%$&%及%&$($’%&是一回事!在本書(shū)中!更常用的是下面的定義#!請(qǐng)注意它與定義!不同的地方!定義$"!%%%%%%%%%%%%%%%%%
4、%%%$$%都是平面點(diǎn)集!如果能經(jīng)過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)!使得點(diǎn)集%成為點(diǎn)集%!!而%!覆蓋點(diǎn)集$!那么我們就說(shuō)點(diǎn)集%能覆蓋點(diǎn)集$!如果不存在上述的運(yùn)動(dòng)!那么我們就說(shuō)點(diǎn)集%不能覆蓋點(diǎn)集$!這里所說(shuō)的運(yùn)動(dòng)是指平移"平行移動(dòng)#$繞一個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)$軸對(duì)稱"反射#或者它們的有限多次的組合!顯然一個(gè)點(diǎn)集%經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)后得到的點(diǎn)集%!與原來(lái)的點(diǎn)集%除了位置不同外!是完全一樣的"即圖形%與%!合同#!點(diǎn)集%能"或不能#覆蓋點(diǎn)集$!也常常說(shuō)成點(diǎn)集$能"或不能#被點(diǎn)集%覆蓋!%能覆蓋&與%覆蓋&不是完全相同的概念!但是為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)!在不致
5、混淆的時(shí)候!我們對(duì)定義#中的點(diǎn)集%!與%不加嚴(yán)格區(qū)分!并且常常將點(diǎn)集%!也記作%!!!!!#下面的例!是在前言中已經(jīng)提過(guò)的問(wèn)題!例$!%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%已知$!’#""!!#!#!$#’#""#!###"##)#!#!是兩個(gè)大小不等的圓!證明圓$#能覆蓋圓$!!而圓$!不能覆蓋$#!解!平移圓$#!使得圓心"#與"!重合!則圓$(#’#""!!###與圓$!’#""!!#!#是同心圓!因?yàn)?!*##!所以圓$(#覆蓋圓$!!也就是圓$#能覆蓋圓$!!其實(shí)!要證明圓$#能覆蓋圓$!!并不一
6、定非要使圓心"#與"!重合不可!只要經(jīng)過(guò)平移使點(diǎn)"#與"!之間的距離"##)#!就可以了!因?yàn)檫@時(shí)對(duì)于圓$!的任一點(diǎn)&!有"!&"#!!從而"參見(jiàn)圖!"##"#&""!&*"!"#"#!*"##)#!#’##!圖!"#因此&一定屬于#""#!###!即圓$#能覆蓋圓$!!這實(shí)際上就是說(shuō)!我們可以將圓$!與圓$#的半徑都減去#!!使$!收縮為一個(gè)點(diǎn)"!"我們稱它為點(diǎn)圓"!#!而$#收縮為#""#!##$#!#!再由#""#!##$#!#顯然覆蓋點(diǎn)"!!導(dǎo)出原來(lái)的圓$#能覆蓋圓$!!在覆蓋問(wèn)題中!這種收縮"或膨脹#
7、是經(jīng)常采用的一種方法!后面我們還會(huì)遇到!現(xiàn)在來(lái)證明小的圓$!不能覆蓋大的圓$#!雖然這個(gè)論斷直觀上很顯然!但是證明卻有點(diǎn)迂回!第一種方法是比較兩個(gè)圓的面積!如果點(diǎn)集%能覆蓋點(diǎn)集$時(shí)!那么由于$是%的子集!所以%的面積’$的面積!但!!!!$圓$的面積!##圓$的面積!##!!!*##所以圓$!不能覆蓋圓$#!為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)!本書(shū)中有時(shí)將點(diǎn)集$的面積也記作$!例如#"$+&+,或,&+,-的面積也記作#"$+&+,或,&+,-!第二種方法是比較兩個(gè)圓的直徑!為了今后的應(yīng)用!我們先給出一般點(diǎn)集的直徑的定義!定義$#!
8、%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%把點(diǎn)集$中任意兩點(diǎn)&$+的距離&+的最大值記為.!即.’%&’’&+(!如果.是一個(gè)有限數(shù)!那么稱.是點(diǎn)集$的直徑!顯然!當(dāng)點(diǎn)集$為圓時(shí)!點(diǎn)集$的直徑就是通常所說(shuō)的圓的直徑!不難證明三角形的直徑就是這個(gè)三角形的最長(zhǎng)的邊!讀者可以考慮一下弓形$扇形"或其他熟悉的圖形#的直徑是什么!一個(gè)點(diǎn)集的直徑不一定只有一條!關(guān)于覆蓋問(wèn)題與直徑的關(guān)系!有一個(gè)簡(jiǎn)單而
