單墫老師教你學(xué)數(shù)學(xué) 解析幾何的技巧

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1、!!!!$目!錄總序!0前言!00!!距離公式!0#!!平行四邊形的頂點!"!!!過已知點的平行線!1:!!過已知點的垂線!002!!同心圓!0!"!!漸近線相同的雙曲線!023!!復(fù)數(shù)與旋轉(zhuǎn)!031!!三角形的心!#04!!法線式!#"0$!!一次式!!!00!!表示直線的高次方程!!10#!!過原點的曲線!:!0!!!直線束!:30:!!共點線與共線點!2302!!行列式的應(yīng)用!"#0"!!面積!"403!!斜坐標(biāo)!3201!!圓的方程!1:04!!和圓有關(guān)的線!11#$!!共圓點!4:!!!!%#0!!與圓有關(guān)的問題!0$$##!!共軸圓!

2、00$#!!!較復(fù)雜的幾何題!004#:!!二次曲線!0!2#2!!韋達定理!0:3#"!!二次曲線束!024#3!!幾何知識的應(yīng)用!03$#1!!軌跡!033#4!!一道幾何題的推廣!04:!$!!兩道國際競賽題!044!0!!牛頓線!#$3!#!!機器證明的兩個定理!#$4結(jié)束語!#0:!!!!!!距離公式點!!!""!#與!!""""#之間的距離是槡!!!#!"#"$!"!#""#""!!%!#這是大家熟悉的距離公式"它可以用來解很多幾何問題%例"!#####################設(shè)$&’(的三邊長為)$*$+"則’(邊上的中線,

3、)的平方為"!"!"!",)-*$+#)%!!%"#""#解!設(shè)’(中點為."則.的坐標(biāo)為!’$!("’$"(!.-"!!".-%!!%$#""!以后我們用!$"分別表示/點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)"不一一//聲明%#于是由公式!!%!#""!!#"#",)-&#!.$!"&#".""!’$!("’$"(-!!&##$!"&##""-!%!!#!#$!!#!#&"$!%!"#"#$!"#"#&"&’&(&’&(##!!!!"-!%!!#!#"$!!#!#"$"!!#!#!!#!#&&’&(&’&(#!$!%!"#"#"$!"#"#"$"!"#"#!"#"

4、#&%&’&(&’&(#注意到恒等式!!!"!!&#!’#!!&#!(#!!!!-!!&#!’#"$!!#!#"#!!#!#"!!%##&(’(!!!!!"!"&#"’#!"&#"(#!!!!-!"&#"’#"$!"#"#"#!"#"#""!!%#0#&(’(便可得出,)"-!%"!!#!#"$"!!#!#"#!!#!#"&&’&(’(#!$!%"!"#"#"$"!"#"#"#!"#"#"&&’&(’(#-!%!!#!#"$!"#"#"&&’&’"!$!%!!#!#"$!"#"#"&&(&("!#!%!!#!#"$!"#"#"&"’(’(#即!!

5、%"#式成立%上面的推導(dǎo)僅是極簡單的計算"沒有添輔助線"沒有巧妙的推理"甚至沒有明確用到余弦定理"只用了距離公式!!%!#與中點的坐標(biāo)!!%$#%這正是解析幾何的優(yōu)點所在"請讀者回憶中線公式!用純幾何方法#的證明"對比一下"體會更深%注!!上面出現(xiàn)的一些式子中"橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)處在平等的地位%由于這種對稱性"在非正式的書寫中"可以只寫出含!!!!!#的部分"而將含"的部分用’%(()來代替!學(xué)過向量的讀者將關(guān)于兩個坐標(biāo)的表達式改成一個用向量表示的式子"更為簡單#%注"!上面的!!%##與!!%#0#相加得出!!#!#!!#!#$!"#"#!"#"#

6、-!!*"$+"#)"#%&’&(&’&("!!%&#它相當(dāng)于余弦定理"即!!%&#式左邊就是*+’()&%這一點我們以后將會用到!熟悉向量的讀者可以看出!!%&#式左邊是向量!"$!#的數(shù)量積#%例""!#####################求證*當(dāng)/為$&’(的重心時"/到三個頂點距離的平方和最小%證!設(shè)重心為1"則!!!1-!!&$!’$!(#"!!"1-!"&$"’$"(#%$$!!%*#因為!!#!#"-%!!#!1#$!!1#!#&"/&/&-!!#!1#"$!!1#!#"$"!!#!1#!!1#!#"/&/&關(guān)于!$!也有類似的

7、等式"這樣的三個等式相加得’(""#"!!!/#!&#-$+!!/#!1#$!!!1#!&!$"!!/#!1#!!!1#!&#"其中!表示將字母&$’$(輪換后所得的三個式子相加"例如!!!!$!!!"-!!#!#"$!!#!#"$!!#!#"%由于/#!&#/&/’/(!!%*#"上式右端最后一個和為零%所以"-$!!#!"#"!!!/#!&#/1#$!!!1#!&%關(guān)于縱坐標(biāo)也有類似的等式%于是"""!/&$/’$/(-$/1"$1&"$1’"$1("%1&"$1’"$1(""即當(dāng)且僅當(dāng)點/與重心1重合時"/&"""取得最小$/’$/(值1&

8、"""$1’$1(%注!!如果讀者不熟悉輪換的和號"可以將式子中所有的項逐一寫出%但輪換的和號是方便的"我們今后多次用到"希望不熟悉的讀