格林函數(shù)法 解的積分公式

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1、§2.4?格林函數(shù)法解的積分公式在第七章至第十一章中主要介紹用分離變數(shù)法求解各類定解問題，本章將介紹另一種常用的方法——格林函數(shù)方法。格林函數(shù)，又稱點源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個重要概念。格林函數(shù)代表一個點源在一定的邊界條件和（或）初始條件下所產(chǎn)生的場。知道了點源的場，就可以用迭加的方法計算出任意源所產(chǎn)生的場。一、泊松方程的格林函數(shù)法為了得到以格林函數(shù)表示的泊松方程解的積分表示式，需要用到格林公式，為此，我們首先介紹格林公式。設(shè)u（r）和v（r）在區(qū)域T及其邊界S上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，而在T中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用矢量分析的高斯定理將曲面積分化成體積積分（12-1-

2、1）這叫作第一格林公式。同理，又有（12-1-2）（12-1-1）與（12-1-2）兩式相減，得亦即19（12-1-3）表示沿邊界S的外法向求導(dǎo)數(shù)。（12-1-3）叫作第二格林公式?，F(xiàn)在討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問題。泊松方程是（12-1-4）第一、第二、第三類邊界條件可統(tǒng)一地表為（12-1-5）其中j（M）是區(qū)域邊界S上的給定函數(shù)。a＝0，b≠0為第一類邊界條件，a≠0，b＝0是第二類邊界條件，a、b都不等于零是第三類邊界條件。泊松方程與第一類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第一邊值問題或狄里希利問題，與第二類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第二邊值問題或諾依曼問題

3、，與第三類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第三邊值問題。為了研究點源所產(chǎn)生的場，需要找一個能表示點源密度分布的函數(shù)。§5.3中介紹的d函數(shù)正是描述一個單位正點量的密度分布函數(shù)。因此，若以v（r，r0）表示位于r0點的單位強(qiáng)度的正點源在r點產(chǎn)生的場，即v（r，r0）應(yīng)滿足方程（12-1-6）現(xiàn)在，我們利用格林公式導(dǎo)出泊松方程解的積分表示式。以v（r，r0）乘（12-1-4），u（r）乘（12-1-6），相減，然后在區(qū)域T中求積分，得SOyzxTSer0Ke圖12-1（12-1-7）應(yīng)用格林公式將上式左邊的體積分化成面積分。但是，注意到在r＝r0點，Dv19具有d函數(shù)的奇異性

4、，格林公式不能用。解決的辦法是先從區(qū)域T中挖去包含r0的小體積，例如半徑為e的小球Ke（圖12-1），Se的邊界面為Se。對于剩下的體積，格林公式成立，（12-1-8）把（12-1-8）代入挖去Ke的（12-1-7），并注意r≠r0，故d（r－r0）＝0，于是（12-1-9）當(dāng)，方程（12-1-6）的解v（r，r0）—→位于點r0而電量為－e0的點電荷的靜電場中的電勢，即－1／4p。令e→0，得（12-1-9）右邊—→左邊的左邊的（12-1-10）這樣，（12-1-7）成為（12-1-11）（12-1-11）稱為泊松方程的基本積分公式。（12-1-11）將（12-1

5、-4）的解u用區(qū)域T上的體積分及其邊界上的面積分表示了出來。那么，能否用（12-1-11）來解決邊值問題呢？我們看到，（12-1-11）中需要同時知道u及在邊界S上的值，但是，在第一邊值問題中，已知的只是u在邊界19S上的值；在第二邊值問題中，已知的只是在邊界S上的值。在第三邊值問題中，已知的是u和的一個線性關(guān)系在邊界S上的值，三類邊界條件均未同時分別給出u和的邊界S上的值。因此，我們還不能直接利用（12-1-11）解決三類邊值問題。其實，這里距離問題的解決已經(jīng)很近了。原來，對于函數(shù)v（r，r0），我們還只考慮其滿足方程（12-1-6）。如果我們對v（r，r0）提出

6、適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，則上述困難就得以解決。對于第一邊值問題，u在邊界S上的值是已知的函數(shù)j（M）。如果要求v滿足齊次的第一類邊界條件（12-1-12）則（12-1-11）中含的一項等于零。從而不需要知道在邊界S上的值。滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-12）的解稱為泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)，用G（r，r0）表示。這樣，（12-1-11）式成為（12-1-13）對于第三邊值問題，令v滿足齊次的第三類邊界條件，（12-1-14）滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-14）的解稱為泊松方程第三類邊值問題的格林函數(shù)，也用G（r，r0）表示。以G（r，r

7、0）乘（12-1-5）式兩邊，得又以u乘（12-1-14），并以G代替其中的v，得19將這兩式相減，得將此式代入（12-1-11），得（12-1-15）至于第二邊值問題，表面看來，似乎可以按上述同樣的辦法來解決，即令G為定解問題（12-1-16）（12-1-17）的解，而由（12-1-11）得到（12-1-18）可是，定解問題（12-1-16）～（12-1-17）的解不存在。這在物理上是容易理解的：不妨把這個格林函數(shù)看作溫度分布。泛定方程（12-1-16）右邊的d函數(shù)表明在S所圍區(qū)域T中有一個點熱源。邊界條件（12-1-17）表明邊界是絕熱的。點熱源不停地放也熱