資源描述：
《利用格林公式計算積分.pdf》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、重慶與世界2011年第28卷第7期論文集粹TheWorld&ChongqingVol28No.72011利用格林公式計算積分李波(西南交通大學(xué)峨眉校區(qū),四川峨眉山614202)摘要:格林公式表達(dá)了平面上沿閉曲線對坐標(biāo)的曲線積分與區(qū)域D上二重積分之間的關(guān)系。介紹格林公式計算積分的常用方法,加深對格林公式運用的思考與理解。關(guān)鍵詞:格林公式;封閉曲線;有向曲線中圖分類號:O172.2文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1007-7111(2011)07-0092-03格林公式:設(shè)閉區(qū)域D由光滑(或分段光滑)的曲線L圍成,函數(shù)Px,y及Qx,y在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)
2、數(shù),則有公式QPLPdx+Qdy=x-ydxdy(其中L是D邊界正向曲線。)D一、封閉曲線存在直接計算如果平面有向曲線L是封閉的,那么,直接運用格林公式計算。例1,計算曲線積分3ydx+xy3y2+y2=a2的順時針方向。Lyx+e+xe-2ydy,其中L是圓周x解:經(jīng)分析易知該曲線積分中有3y3yP3yQ3yPQPx,y=yx+e,Qx,y=xy+xe-2y,=x+e,=y+e,!xyxy利用格林公式把曲線積分化為二重積分,再利用二重積分的對稱性計算其值。得=-Q-Pdxdy=y3-x3dxdy=y3dxdy-y3dxdy=0Lxy
3、DDDD二、構(gòu)造封閉曲線再計算如果空間有向曲線L不是封閉的,那么需添加輔助的有向曲線L,使L與L構(gòu)成定向的封閉曲線,再運用格林公式進(jìn)00行計算。注:添補的輔助曲線L0的方向應(yīng)選為與L的方向相一致。方向或者都是正方向,或者都是負(fù)方向。例2,計算xxL?esiny+8ydx+ecosy-7xdy,其中L是從O0,0到A6,0的上半圓弧。xx解:經(jīng)分析本題中Px,y=esiny+8y,Qx,y=ecosy-7x,都較繁,故構(gòu)造輔助線:連接AO,方向從點A到點O,因PxQx=ecosy+8,=ecosy-7yxQP135則?+==--dxdy=15dxdy=LA?OL?
4、+AOxy2DD收稿日期:2011-05-22作者簡介:李波(1988),男,研究方向:微分方程、曲面積分。李波:利用格林公式計算積分930135而在AO上,y=0,dy=0,則?=0dx=0,所以=AO?6L?23x=acost,例3,記Oxy平面上第一象限內(nèi)星形線為L1:0#t#;直線段L2=x,yx=0,0#y#a,L3=y=asin3t,2x,yy=0,0#x#a,其中,常數(shù)a>0,試求L1,L2,L3圍成的平面圖形的面積與質(zhì)心,其中,的邊界閉曲線L為正向,面密度=1。解:顯然,曲線L由L1,L2,L3構(gòu)成,對平面圖形的面積=dxdy,
5、應(yīng)用格林公式把二重積分化為第二類曲線積分,得11=dxdy=xdy-ydx=xdy-ydx+xdy-ydx+xdy-ydx=2L2???LLL123123333?acostdasint-asintdacost+0+0=203222232232a?sintcostdt=a?1-cos4tdt=a2016032其中,顯然有?xdy-ydx=0,?xdy-ydx=0。L2L311由于勻質(zhì)平面圖形關(guān)于直線y=x對稱,故的質(zhì)心x,y有x=xd=y=yd。同理,由格林公式得xd=1x2dy=12221x2dy=22?xdy+?xdy+?xdy=2?
6、LL1L2L3L13a32cos7tsin2tdt=3a32798a32?02?0cost-sintdt=105256所以,平面圖形的質(zhì)心x=y=a。315三、封閉曲線存在的特殊情形PQ如果所給的有向曲線是封閉的,但是不滿足格林公式所要求的函數(shù)Px,y、Qx,y、,,在曲線L所包圍的有界yx平面閉區(qū)域上連續(xù)的條件,那么,可以先把曲線L的方程代入該曲線積分,若后者曲線積分已滿足格林公式條件,則用格林公式把它化為二重積分計算。1-ydx+xdy例4,計算曲線積分I=,其中曲線L是以點0,1為圓心,1為半徑的圓周,取逆時針方向。?x2+y-12L22解:經(jīng)分析,有向
7、曲線L所圍的平面區(qū)域:x,yx+y-1#1內(nèi)含有不連續(xù)的點0,1,但注意到把曲線L的方程代入積分I后即消去了該不連續(xù)的奇點,再用格林公式得1-ydx+xdyI=?x2+y-12=1-ydx+xdy=1+1d=2LL如果封閉平面曲線L的方程代入某曲線積分后。仍然在L所圍的區(qū)域上存在某些點或子區(qū)域Px,y、Qx,y、PQPQ,不連續(xù),而在的其他地方都連續(xù),且=,則構(gòu)造一條有規(guī)則的封閉曲線l0!,使其偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的那些點yxyx或子區(qū)域包含在l所圍的區(qū)域內(nèi),且曲
