《極大值與極小值》PPT課件

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1、1.3.2極大值與極小值單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù)；如果f′(x)=0，則f(x)為常數(shù)函數(shù)；復(fù)習(xí):函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x1、x2、x3、x4處的函數(shù)值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，與它們左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值，相比有什么特點(diǎn)?觀察圖像：一、函數(shù)的極值定義一般的，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)X0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)f(x0

2、),則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)；◆函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.(極值即峰谷處的值------不一定最大或最?。┦购瘮?shù)取得極值的點(diǎn)x0稱為極值點(diǎn)數(shù)學(xué)建構(gòu)1、在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量(x)的值，極值指的是函數(shù)值(y)。注　意2、極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。3、函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)。4、極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大

3、值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，而yxO觀察與思考：極值與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？在極值點(diǎn)處，曲線如果有切線，則切線是水平的。aby=f(x)x1f?(x1)=0x2f?(x2)=0x3f?(x3)=0x4f?(x5)=0x5觀察圖像并類比于函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的研究方法,看極值與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系?oax0bxyxx0左側(cè)x0x0右側(cè)f?(x)f(x)oax0bxyxx0左側(cè)x0x0右側(cè)f?(x)f(x)增f?(x)>0f?(x)=0f?(x)<0極大值減f?(x)<0f?(x)=0增減極小值f?(x)>0數(shù)學(xué)建構(gòu)請(qǐng)問(wèn)如何判斷f(x0)是極大值或是極小值？f?(x)<0yxOx1aby=f(x)在極

4、大值點(diǎn)附近在極小值點(diǎn)附近f?(x)<0f?(x)>0f?(x)>01、如果在x0附近的左側(cè)f’(x)>0，右側(cè)f’(x)<0，則f(x0)是極大值；2、如果在x0附近的左側(cè)f’(x)<0，右側(cè)f’(x)>0，則f(x0)是極小值；已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的，則二、判斷函數(shù)極值的方法x2左正右負(fù)為極大，右正左負(fù)為極小注意：函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)間上可能有多個(gè)極大值或極小值，并對(duì)同一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，在某一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值。例.判斷下面4個(gè)命題，其中是真命題序號(hào)為。①可導(dǎo)函數(shù)必有極值；②函數(shù)在極值點(diǎn)必有定義；

5、③函數(shù)的極小值一定小于極大值（設(shè)極小值、極大值都存在）；④函數(shù)的極小值（或極大值）不會(huì)多于一個(gè)。②例1求函數(shù)的極值。x(-∞，-2）-2(-2，2）2(2，+∞）y′y解：定義域?yàn)镽，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2當(dāng)x變化時(shí)，y′,y的變化情況如下表：因此，當(dāng)x=-2時(shí)，y極大值=17/3當(dāng)x=2時(shí)，y極小值=－5++0-0極大值17/3極小值-5求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟：(2)求導(dǎo)數(shù)f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格檢查f’(x)在方程根左右的符號(hào)——如果左正右負(fù)（+~-），那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如

6、果左負(fù)右正（-~+），那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；(1)確定函數(shù)的定義域；例2求函數(shù)y=(x2-1)3+1的極值。x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′－0－0+0+y解：定義域?yàn)镽，y′=6x(x2-1)2。由y′=0可得x1=-1,x2=0，x3=1當(dāng)x變化時(shí)，y′,y的變化情況如下表：因此，當(dāng)x=0時(shí)，y極小值=0無(wú)極值無(wú)極值極小值0例3已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，當(dāng)x=-1時(shí)取得極大值7；當(dāng)x=3時(shí)取得極小值，求這個(gè)極小值及a、b、c的值。1、函數(shù)在時(shí)有極值10，則a，b的值為（）A、或B、或C、D、以上都不對(duì)C，解:由題設(shè)條件

7、得：解之得通過(guò)驗(yàn)證，都合要求，故應(yīng)選擇A。注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件注意代入檢驗(yàn)課堂練習(xí)【思考交流】導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎?對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言,其極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),反之導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).因此:導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要非充分條件.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0是點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件；點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)是點(diǎn)是極值點(diǎn)的充分條件。注：點(diǎn)是極值點(diǎn)的充分條件和必要條件判斷正誤：點(diǎn)x＝0是函數(shù)y＝x3的極值點(diǎn)。2.(北京卷)已知函數(shù)在點(diǎn)