《擺線》同步練習(xí)2

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1、《擺線》同步練習(xí)2?預(yù)習(xí)梳理2．在研究平擺線的參數(shù)方程中，取定直線為x軸，定點(diǎn)M滾動(dòng)時(shí)落在直線上的一個(gè)位置為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的半徑為r，可得擺線的參數(shù)方程為：______________________________________________________．?預(yù)習(xí)思考　半徑為8的圓的漸開(kāi)線參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，擺線參數(shù)方程為_(kāi)_____________．,預(yù)習(xí)梳理1.(φ為參數(shù))2.(φ為參數(shù))預(yù)習(xí)思考(φ為參數(shù))1．關(guān)于漸開(kāi)線和擺線的敘述，正確的是(　　)A．只有圓才有漸開(kāi)線B．漸開(kāi)線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所

2、以才能得到不同的圖形C．正方形也可以有漸開(kāi)線D．對(duì)于同一個(gè)圓，如果建立的直角坐標(biāo)系的位置不同，畫出的漸開(kāi)線形狀就不同1．C2．半徑為1的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程為(　　)A.(θ為參數(shù))B.(θ為參數(shù))C.(θ為參數(shù))D.2.C3．給出下列說(shuō)法：①圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；②圓的漸開(kāi)線也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開(kāi)線問(wèn)題；③在求圓的擺線和漸開(kāi)線方程時(shí)，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程；④圓的漸開(kāi)線和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn)．其中正

3、確的說(shuō)法有(　　)A．①③　　　B．②④C．②③D．①③④3.C4．基圓半徑為2的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是__________．(φ為參數(shù))6．已知擺線的生成圓的直徑為80mm，則擺線的參數(shù)方程為_(kāi)___________________________________，其一拱的寬為_(kāi)_______，拱高為_(kāi)_______．6.(φ為參數(shù))　80πmm80mm7．已知參數(shù)方程為(α為參數(shù))，則該圓的漸開(kāi)線參數(shù)方程為_(kāi)_________________________，擺線參數(shù)方程為_(kāi)___________________________．7.(φ為參數(shù))(φ為參

4、數(shù))8．漸開(kāi)線(φ為參數(shù))的基圓的圓心在原點(diǎn)，把基圓的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______________．8．(6，0)和(－6，0)9．當(dāng)φ＝，π時(shí)，求出漸開(kāi)線(φ為參數(shù))上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，并求出A，B間的距離．9．解析：將φ＝代入得x＝cos＋sin＝1，y＝sin－cos＝1.∴A.將φ＝π代入得x＝cosπ＋πsinπ＝－1，y＝sinπ－πcosπ＝π.∴B(－1，π)．故A，B間的距離為

5、AB

6、＝＝.10．已知圓的直徑為2，其漸開(kāi)線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為和，求點(diǎn)A、B的直角坐標(biāo)

7、．10．解析：根據(jù)題設(shè)條件可知圓的半徑為1，所以對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．將φ＝代入得x＝cos＋sin＝＋π，y＝sin－cos＝－.∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)φ＝時(shí)，同理可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為.11．求擺線(φ為參數(shù)且0≤φ≤2π)與直線y＝2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．11．解析：當(dāng)y＝2時(shí)，有2(1－cosφ)＝2，∴cosφ＝0.又0≤φ≤2π，∴φ＝或φ＝.當(dāng)φ＝時(shí)，x＝π－2；當(dāng)φ＝時(shí)，x＝3π＋2.∴擺線與直線y＝2的交點(diǎn)為(π－2，2)，(3π＋2，2)．12．設(shè)圓的半徑為4，沿x軸正向滾動(dòng)，開(kāi)始時(shí)圓與x軸相切于原點(diǎn)O，記圓上動(dòng)點(diǎn)為M，它隨圓的滾

8、動(dòng)而改變位置，寫出圓滾動(dòng)一周時(shí)M點(diǎn)的軌跡方程，畫出相應(yīng)曲線，求此曲線上縱坐標(biāo)y的最大值．12．解析：依題意可知，軌跡是擺線，其參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．且0≤φ≤2π.其曲線是擺線的第一拱(0≤φ≤2π)，如下圖所示：易知，當(dāng)x＝4π時(shí)，y有最大值8.13．已知一個(gè)圓的擺線方程是(φ為參數(shù))，求該圓的面積和對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程．13．分析：首先根據(jù)所給出的擺線方程判斷出圓的半徑為4，易得圓的面積，再代入漸開(kāi)線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程．解析：首先根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4，所以面積是16π，該圓對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線參數(shù)方程是(φ

9、為參數(shù))．14．已知一個(gè)圓的擺線過(guò)一定點(diǎn)(2，0)，請(qǐng)寫出該圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程以及對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程．14．分析：根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程(φ為參數(shù))，只需把點(diǎn)(2，0)代入?yún)?shù)方程求出r的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出r的最大值，再確定對(duì)應(yīng)的擺線和漸開(kāi)線的參數(shù)方程即可．解析：令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r＞0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因?yàn)閤＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝.又由實(shí)際可知r＞0，所以r＝(k∈N*)．易知，當(dāng)k＝1

10、時(shí)，r取最大值為.代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))；圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方