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《直線、平面垂直與平面,平面垂直地判定及其性質(zhì)(學(xué)生版)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、實(shí)用文檔 直線、平面垂直與平面，平面垂直的判定及其性質(zhì)類型1 線面垂直的判定[要點(diǎn)點(diǎn)擊] 對(duì)直線與平面垂直的幾點(diǎn)說明(1)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式．(2)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．這是判斷兩條直線垂直的一種重要方法．[典例1] 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝O.求證：(1)PO⊥平面ABCD；(2)AC⊥平面PBD.[巧歸納] 證明線面垂直的步驟(1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；(2)確定
2、這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論．[練習(xí)1] 如圖所示，空間四邊形ABCD的邊BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，垂足為E，作AH⊥BE，垂足為H.求證：AH⊥平面BCD.類型2 直線與平面所成的角[要點(diǎn)點(diǎn)擊] 對(duì)斜線和平面所成的角的定義的理解斜線和平面所成的角的定義表明斜線和平面所成的角是通過斜線在平面內(nèi)的射影而轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔[典例2] 如圖，三棱錐A—SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直線AS與平面SBC所成的角．[巧歸納] 求直線和平面所成角
3、的步驟(1)尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角．[練習(xí)2] 如圖所示，已知正四面體(各棱長都相等的三棱錐)A—BCD的棱長為a，E為AD的中點(diǎn)，連接CE.(1)求證：頂點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的外心；(2)求AD與底面BCD所成的角的余弦值；(3)求CE與底面BCD所成的角的正弦值．類型3 線面垂直的綜合應(yīng)用[典例3] 如圖所示，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD
4、，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥平面PAB；(2)設(shè)AB＝BC，求AC與平面AEF所成角的正弦值．[思路點(diǎn)撥] (1)要證線面垂直，需證平面內(nèi)有兩條相交直線與已知直線垂直，而根據(jù)條件易得EF⊥PB，EF⊥AF，所以本題得證．(2)要求線面角，得先找出或作出這個(gè)角，根據(jù)條件易得BP⊥平面EFA，故在△BEF標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔中，只需過AC與BE的交點(diǎn)G作BF的平行線GH，則GH⊥平面EFA，∠GAH為所求角．[巧歸納] 利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線
5、垂直關(guān)系，進(jìn)而證明線面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底邊的中線、高、菱形、正方形的對(duì)角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法．[練習(xí)3] 如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)．類型4 面面垂直的判定[要點(diǎn)點(diǎn)擊] 平面與平面垂直的關(guān)鍵點(diǎn)(1)兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況．例如正方體中任意相鄰兩個(gè)面都是互相垂直的．(2)兩個(gè)平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點(diǎn)：都是通過所成的角是直角來定義的．[典例4] 如圖所示，在梯形A
6、BCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點(diǎn)，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.現(xiàn)將△ADE，△CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G，得到多面體CDEFG. (1)求證：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面體CDEFG的體積．[思路點(diǎn)撥] (1)由△EGF中的數(shù)量關(guān)系證得EG⊥FG，再由CF⊥平面EGF?EG⊥CF，從而EG⊥平面CFG，進(jìn)而得證．標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔(2)作出四棱錐的高，由體積公式易得．又CF∩GF＝F，∴EG⊥平面CFG.又EG?平面DEG，∴平面DEG⊥平面CFG.[巧歸納]
7、 常用的兩個(gè)平面互相垂直的判定方法(1)定義法，即說明這兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面內(nèi)的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直；(3)兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面．對(duì)于判定定理，可簡述為“線面垂直，則面面垂直”．[練習(xí)4] 如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點(diǎn)．求證：平面ABM⊥平面A1B1M.類型5 二面角及其平面角的求法[要點(diǎn)點(diǎn)擊] 確定二面角的平面角的方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該
8、點(diǎn)作垂直于棱的射線．(2)垂面法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二
