線性代數(shù)習題及答案(復旦版)1

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1、線性代數(shù)習題及答案習題一1.求下列各排列的逆序數(shù).(1)341782659；(2)987654321；(3)n(n-1)…321；(4)13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2.【解】(1)τ(341782659)=11;(2)τ(987654321)=36;(3)τ(n(n-1)…3·2·1)=0+1+2+…+(n-1)=;(4)τ(13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2)=0+1+…+(n-1)+(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1).2.略.見教材習題參考答案.3.略.見教材習題參考答案.4.本行列式的展開式中包含和的項.解：設，其中

2、分別為不同列中對應元素的行下標，則展開式中含項有展開式中含項有.5.用定義計算下列各行列式.(1)；(2).【解】(1)D=(-1)τ(2314)4!=24;(2)D=12.6.計算下列各行列式.(1)；(2)；(3)；(4).【解】(1);(2);7.證明下列各式.(1)；(2)；(3)(4)；(5).【證明】(1)(2)(3)首先考慮4階范德蒙行列式:從上面的4階范德蒙行列式知，多項式f(x)的x的系數(shù)為但對（*）式右端行列式按第一行展開知x的系數(shù)為兩者應相等，故(4)對D2n按第一行展開，得據(jù)此遞推下去，可得(5)對行列式的階數(shù)n用數(shù)學歸納法.當n=

3、2時，可直接驗算結論成立，假定對這樣的n-1階行列式結論成立，進而證明階數(shù)為n時結論也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成兩個n階行列式相加：但由歸納假設從而有8.計算下列n階行列式.(1)(2)；(3).(4)其中；(5).【解】(1)各行都加到第一行，再從第一行提出x+(n-1),得將第一行乘（-1）后分別加到其余各行，得(2)按第二行展開(3)行列式按第一列展開后，得(4)由題意，知.(5).即有由得.9.計算n階行列式.【解】各列都加到第一列，再從第一列提出，得將第一行乘（-1）后加到其余各行，得10.計算階行列式（其中）..【解】行列式的各列提取因

4、子,然后應用范德蒙行列式.11.已知4階行列式;試求與，其中為行列式的第4行第j個元素的代數(shù)余子式.【解】同理12.用克萊姆法則解方程組.(1)(2)【解】方程組的系數(shù)行列式為故原方程組有惟一解，為13.λ和μ為何值時，齊次方程組有非零解?【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數(shù)行列式即故或時，方程組有非零解.14.問：齊次線性方程組有非零解時，a,b必須滿足什么條件？【解】該齊次線性方程組有非零解，a,b需滿足即(a+1)2=4b.15.求三次多項式，使得【解】根據(jù)題意，得這是關于四個未知數(shù)的一個線性方程組，由于故得于是所求的多項式為16.求出使一平面上

5、三個點位于同一直線上的充分必要條件.【解】設平面上的直線方程為ax+by+c=0(a,b不同時為0)按題設有則以a,b,c為未知數(shù)的三元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為上式即為三點位于同一直線上的充分必要條件.習題二1.計算下列矩陣的乘積.（1）；（2）　；（3）　；（4）　；（5）；（6）　.【解】(1)(2);(3)(10);(4)(5);(6).2.　設，，求(1);(2)；(3)嗎?【解】(1)(2)(3)由于AB≠BA,故(A+B)(A-B)≠A2-B2.3.舉例說明下列命題是錯誤的.(1)若，則；(2)若，則或；(3)若，，則.【解】(1

6、)以三階矩陣為例，取,但A≠0(2)令,則A2=A,但A≠0且A≠E(3)令則AX=AY,但X≠Y.4.　設,求A2，A3，…，Ak.【解】5.　，　求并證明：.【解】今歸納假設那么所以，對于一切自然數(shù)k,都有6.已知，其中求及.【解】因為

7、P

8、=-1≠0,故由AP=PB,得而7.設，求

9、

10、.解：由已知條件，的伴隨矩陣為又因為，所以有，且，即于是有.8.　已知線性變換利用矩陣乘法求從到的線性變換.【解】已知從而由到的線性變換為9.　設，為階方陣，且為對稱陣，證明：也是對稱陣.【證明】因為n階方陣A為對稱陣，即A′=A,所以(B′AB)′=B′A′B=B′A

11、B,故也為對稱陣.10.　設A，B為n階對稱方陣，證明：AB為對稱陣的充分必要條件是AB=BA.【證明】已知A′=A,B′=B，若AB是對稱陣，即(AB)′=AB.則AB=(AB)′=B′A′=BA,反之，因AB=BA,則(AB)′=B′A′=BA=AB,所以，AB為對稱陣.11.A為n階對稱矩陣，B為n階反對稱矩陣，證明：(1)B2是對稱矩陣.(2)AB-BA是對稱矩陣，AB+BA是反對稱矩陣.【證明】因A′=A,B′=-B,故(B2)′=B′·B′=-B·(-B)=B2;(AB-BA)′=(AB)′-(BA)′=B′A′-A′B′=-BA-A·(-B)

12、=AB-BA;(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+