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1、1.2.離散小波變換學院：精儀學院學號：1013202055姓名:孫培元長期以來，快速傅氏變換(FastFourierTransform)和離散小波變換(DiscreteWaveletTransform)在數(shù)字信號處理、石油勘探、地震預報、醫(yī)學斷層診斷、編碼理論、量子物理及概率論等領域中都得到了廣泛的應用。各種快速傅氏變換(FFT)和離散小波變換(DWT)算法不斷出現(xiàn)，成為數(shù)值代數(shù)方面最活躍的一個研究領域，而其意義遠遠超過了算法研究的范圍，進而為諸多科技領域的研究打開了一個嶄新的局面。1.離散小波變換DWT1.1離散小波變換DWT及其串行算法先對一維小波變換作
2、一簡單介紹。設f(x)為一維輸入信號，記，，這里與分別稱為定標函數(shù)與子波函數(shù)，與為二個正交基函數(shù)的集合。記P0f=f，在第級上的一維離散小波變換DWT(DiscreteWaveletTransform)通過正交投影Pjf與Qjf將Pj-1f分解為：其中：，，這里，{h(n)}與{g(n)}分別為低通與高通權系數(shù)，它們由基函數(shù)與來確定，p為權系數(shù)的長度。為信號的輸入數(shù)據(jù)，N為輸入信號的長度，L為所需的級數(shù)。由上式可見，每級一維DWT與一維卷積計算很相似。所不同的是：在DWT中，輸出數(shù)據(jù)下標增加1時，權系數(shù)在輸入數(shù)據(jù)的對應點下標增加2，這稱為“間隔取樣”。算法1一
3、維離散小波變換串行算法輸入：c0=d0(c00,c10,…,cN-10)h=(h0,h1,…,hL-1)g=(g0,g1,…,gL-1)輸出：cij,dij(i=0,1,…,N/2j-1,j≥0)Begin(1)j=0,n=N(2)While(n≥1)do(2.1)fori=0ton-1do(2.1.1)cij+1=0,dij+1=0(2.1.2)fork=0toL-1doendforendfor(2.2)j=j+1,n=n/2endwhileEnd顯然，算法1的時間復雜度為O(N*L)。在實際應用中，很多情況下采用緊支集小波（CompactlySupport
4、edWavelets），這時相應的尺度系數(shù)和小波系數(shù)都是有限長度的，不失一般性設尺度系數(shù)只有有限個非零值：h1,…,hN，N為偶數(shù)，同樣取小波使其只有有限個非零值：g1,…,gN。為簡單起見，設尺度系數(shù)與小波函數(shù)都是實數(shù)。對有限長度的輸入數(shù)據(jù)序列：(其余點的值都看成0)，它的離散小波變換為:其中J為實際中要求分解的步數(shù)，最多不超過log2M，其逆變換為注意到尺度系數(shù)和輸入系列都是有限長度的序列，上述和實際上都只有有限項。若完全按照上述公式計算，在經(jīng)過J步分解后，所得到的J+1個序列和的非零項的個數(shù)之和一般要大于M，究竟這個項目增加到了多少？下面來分析一下上述計
5、算過程。j=0時計算過程為不難看出，的非零值范圍為：即有個非零值。的非零值范圍相同。繼續(xù)往下分解時，非零項出現(xiàn)的規(guī)律相似。分解多步后非零項的個數(shù)可能比輸入序列的長度增加較多。例如，若輸入序列長度為100，N=4，則有51項非零，有27項非零，有15項非零，有9項非零，有6項非零，有4項非零，有4項非零。這樣分解到6步后得到的序列的非零項個數(shù)的總和為116，超過了輸入序列的長度。在數(shù)據(jù)壓縮等應用中，希望總的長度基本不增加，這樣可以提高壓縮比、減少存儲量并減少實現(xiàn)的難度?？梢圆捎蒙晕⒏淖冇嬎愎降姆椒?，使輸出序列的非零項總和基本上和輸入序列的非零項數(shù)相等，并且可以
6、完全重構。這種方法也相當于把輸入序列進行延長（增加非零項），因而稱為延拓法。只需考慮一步分解的情形，下面考慮第一步分解(j=1)。將輸入序列作延拓，若M為偶數(shù)，直接將其按M為周期延拓；若M為奇數(shù)，首先令。然后按M+1為周期延拓。作了這種延拓后再按前述公式計算，相應的變換矩陣已不再是H和G，事實上這時的變換矩陣類似于循環(huán)矩陣。例如，當M=8，N=4時矩陣H變?yōu)椋寒擬=7，N=4時矩陣H變?yōu)椋簭纳鲜龅木仃嚤硎究梢钥闯?，兩種情況下的矩陣內(nèi)都有完全相同的行，這說明作了重復計算，因而從矩陣中去掉重復的那一行不會減少任何信息量，也就是說，這時我們可以對矩陣進行截短（即去掉
7、一行），使得所得計算結果仍然可以完全恢復原輸入信號。當M=8，N=4時截短后的矩陣為：當M=7，N=4時截短后的矩陣為：這時的矩陣都只有行。分解過程成為：向量C1和D1都只有個元素。重構過程為：可以完全重構。矩陣H，G有等式H*H+G*G=I一般情況下，按上述方式保留矩陣的行，可以完全恢復原信號。這種方法的優(yōu)點是最后的序列的非0元素的個數(shù)基本上和輸入序列的非0元素個數(shù)相同，特別是若輸入序列長度為2的冪，則完全相同，而且可以完全重構輸入信號。其代價是得到的變換系數(shù)Dj中的一些元素已不再是輸入序列的離散小波變換系數(shù)，對某些應用可能是不適合的，但在數(shù)據(jù)壓縮等應用領域
8、，這種方法是可行的。1.1.1離散小波
