數(shù)學(xué)建模論文--鉛球擲遠(yuǎn)問題的數(shù)學(xué)模型

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1、鉛球擲遠(yuǎn)問題的數(shù)學(xué)模型[摘要]：本文綜合考慮鉛球的受力情況，抓住出手角度、出手速度、出手高度與投擲距離的關(guān)系，從解析幾何角度考慮鉛球的運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而得出了反映鉛球擲遠(yuǎn)距離與三者函數(shù)關(guān)系的模型Ⅰ．為了得到更為合理的數(shù)學(xué)模型，我們進(jìn)一步觀察整個(gè)投擲過程，將整個(gè)過程分為滑步用力階段和展臂脫手兩個(gè)階段．再對(duì)兩個(gè)階段分別進(jìn)行合理的分析，進(jìn)一步考慮推力、初速度、加速度、出手速度等因素之間的相互關(guān)系，對(duì)以上模型進(jìn)行了改進(jìn)，得到了更為合理的模型Ⅱ．在以上模型的基礎(chǔ)上固定出手高度，求出了最佳出手角度為，,其中．另外，運(yùn)用數(shù)值極差法和圖象分析法，

2、得出了速度的靈敏性高于出手角度．關(guān)鍵詞：出手速度；出手角度；出手高度；靈敏性1問題的提出鉛球擲遠(yuǎn)比賽要求運(yùn)動(dòng)員在直徑2.135m的圓內(nèi)將重7.257kg的鉛球投擲在的扇形區(qū)域內(nèi)，如右圖．綜合分析鉛球的運(yùn)動(dòng)過程建2.135m立分別符合以下要求的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型：1．以出手速度、出手角度、出手高度為參數(shù)，建立鉛球擲遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)模型；2．考慮運(yùn)動(dòng)員推鉛球時(shí)用力展臂的動(dòng)作，改進(jìn)以上模型．3．在此基礎(chǔ)上，給定出手高度，對(duì)于不同的出手速度，確定最佳出手角度4．比較擲遠(yuǎn)結(jié)果對(duì)出手速度和出手角度的靈敏性．2模型的分析2．1模型Ⅰ2．1.1模型的假設(shè)與

3、符號(hào)約定1忽略空氣阻力對(duì)鉛球運(yùn)動(dòng)的影響．2出手速度與出手角度是相互獨(dú)立的．3不考慮鉛球脫手前的整個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．2．1.2符號(hào)約定v鉛球的出手速度鉛球的出手角度h　鉛球的出手高度t鉛球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間L鉛球投擲的距離g地球的重力加速度()2．1.3問題的分析問題1要求我們以出手速度、出手角度、出手高度為參數(shù)，建立鉛球擲遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)模型．我們只需求出擲遠(yuǎn)的距離關(guān)于三者的函數(shù)關(guān)系式．這樣，我們合理地簡(jiǎn)化其他影響因素，從物理、數(shù)學(xué)上得出關(guān)系式即可．2.1.4模型的建立與求解98　　鉛球出手后，由于是在一個(gè)豎直平面上運(yùn)動(dòng)．我們，以鉛球出手點(diǎn)的

4、鉛垂方向?yàn)閥軸，以y軸與地面的交點(diǎn)到鉛球落地點(diǎn)方向?yàn)閤軸構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系．xvhy圖(1)這樣，鉛球脫手后的運(yùn)動(dòng)路徑可用平面直角坐標(biāo)系表示，如圖(1)．因?yàn)椋U球出手后，只受重力作用（假設(shè)中忽略空氣阻力的影響），所以，在x軸上的加速度，在y軸上的加速度．如此，從解析幾何角度上，以時(shí)間t為參數(shù)，易求得鉛球的運(yùn)動(dòng)方程：對(duì)方程組消去參數(shù)t，得……………………………………………(1)當(dāng)鉛球落地時(shí)，即是，代入方程(1)解出x的值對(duì)以上式子化簡(jiǎn)后得到鉛球的擲遠(yuǎn)模型………………………………(2)2.1.5模型的檢驗(yàn)以下是我國兩名優(yōu)秀女運(yùn)動(dòng)

5、員一次投擲的成績(jī)：運(yùn)動(dòng)員出手速度v(m/s）出手高度h(m)出手角度模型一中的L(m)實(shí)測(cè)成績(jī)L(m)A13.522.0038.6920.2220.30B13.772.0640.0021.2521.41　　從以上數(shù)據(jù)，我們可以看出由模型Ⅰ計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際投擲距離是比較吻合的．但也有一定的誤差，這是由于我們忽略了過多的因素，下面我們盡量考慮所涉及到的因素建立模型Ⅱ．2.2模型Ⅱ2.2.1模型的假設(shè)1忽略空氣阻力對(duì)鉛球運(yùn)動(dòng)的影響．2手對(duì)鉛球的推力是一個(gè)恒力．3在鉛球脫手前，鉛球的運(yùn)動(dòng)方向與出手角度一致．4鉛球從靜止到運(yùn)動(dòng)期間運(yùn)動(dòng)的

6、路徑是直線的．5不考慮運(yùn)動(dòng)員的身體素質(zhì)和心理素質(zhì)對(duì)投擲鉛球的影響．986鉛球出手瞬間肩部恰在場(chǎng)地邊界．2.2.2符號(hào)約定v鉛球的出手速度鉛球的出手角度h　鉛球的出手高度g地球的重力加速度()F手對(duì)鉛球的推力m鉛球的質(zhì)量(m=7.257kg)鉛球出手瞬間肩部的高度L鉛球出手后運(yùn)動(dòng)的距離手臂的長(zhǎng)度鉛球加速的距離S鉛球投擲的總成績(jī)2.2.3問題的分析在模型Ⅰ中，我們假設(shè)出手速度和出手角度是相互獨(dú)立的．事實(shí)上，整個(gè)投擲過程包括滑步用力階段和展臂脫手階段，（如圖(2)）．它們是相互聯(lián)系的．所以，模型Ⅰ中假設(shè)出手速度和出手角度相互獨(dú)立是不

7、合理的．現(xiàn)在，我們觀察以上兩個(gè)階段，鉛球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)的,加速距離是段．且出手高度與手臂長(zhǎng)及出手角度是有一定的聯(lián)系，進(jìn)而合理地細(xì)化各個(gè)因素對(duì)擲遠(yuǎn)成績(jī)的約束，改進(jìn)模型Ⅰ．mgmgsinF圖(3)圖形說明：A點(diǎn)是作好準(zhǔn)備，鉛球從靜止到運(yùn)動(dòng)的瞬間；B點(diǎn)是鉛球脫手的瞬間；C點(diǎn)是鉛球著地點(diǎn)．　　　　　　CLＢhaＶＡ圖(2)２.2.4模型的建立與求解在投擲角度為上進(jìn)行受力分析，如圖(3)由牛頓第二定律可得，98　　　　　再由上式可得，………………………………………(3)又，，即　……………………………………

8、……(4)將(3)代入(4)可得，………………………(5)(5)式進(jìn)一步說明了，出手速度與出手角度有關(guān)，隨著的增加而減?。Ｐ廷窦僭O(shè)出手速度與出手角度相互獨(dú)立是不合理的．又根據(jù)圖(2),有……………………………………………(6)由模型Ⅰ,同理可以得到鉛球脫手后運(yùn)動(dòng)的距離將(4