鉛球擲遠問題-數(shù)學(xué)模型

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1、2012年四川理工學(xué)院第九屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細閱讀了四川理工學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等)與隊外的任何人(包括指導(dǎo)教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果實違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果后其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公平、公正性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是(從A/B/

2、C/D中選擇一項填寫)：C我們的參賽報名號為(如果設(shè)置報名號的話)：所屬學(xué)校(請?zhí)顚懲暾娜?：四川理工學(xué)院黃嶺校區(qū)參賽隊員(打印并簽名)：1.趙彬2.李欣3.尹歡歡日期：2012年5月22日評閱編號(由評委團評閱前進行編號)：編號專用頁評閱編號(由評委團評閱前進行編號)：評閱記錄表評閱人評分備注鉛球投擲問題摘要本文主要對影響鉛球擲遠成績因素進行了研究，采用牛頓力學(xué)等物理的分析法和微分知識建立了數(shù)學(xué)模型，運用MATLAB軟件編程繪圖進行模型求解和分析，使問題得以解決。問題一，由于空氣阻力、鉛球本身、天氣情況等因素的影響相對較小，可忽略。運用

3、運動物理學(xué)知識建立投擲水平位移L和出手角度θ、出手速度v之間的多元方程關(guān)系，對擲遠水平位移L關(guān)于θ求導(dǎo)可知，簡化可得到最優(yōu)出手角度θ與出手速度v和出手高度h之間的函數(shù)關(guān)系，再運用MATLAB軟件編程將這一關(guān)系圖作出(見圖3),可直觀的判斷運動員最優(yōu)出手角度的大致范圍在3842之間。問題二，為分析最優(yōu)出手角度θ與出手速度v的制約關(guān)系，先對鉛球做力學(xué)分析，運用牛頓力學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型（見方程（13）），根據(jù)該模型可知，最優(yōu)出手角度θ會隨出手速度v的減小而減小，結(jié)合方程（9）可得，運動員不能使初速度達到最大的情況下，應(yīng)適當(dāng)減小投擲角度的結(jié)論。再利用

4、MATLAB軟件編程將投擲水平位移L和出手角度θ、出手速度v之間的關(guān)系圖作出(見圖5)，可以確切的求出各個最優(yōu)角度與初速度的對應(yīng)值。問題三，分析了影響鉛球投擲遠度的因素，從空氣阻力、推力大小、出手高度、施力距離對鉛球擲遠距離L的影響分別建立函數(shù)模型，通過取點繪圖的方法比較各因素的影響，最后根據(jù)結(jié)論有效的分析了教練員在訓(xùn)練運動員時應(yīng)從哪些方面提高運動員的成績。關(guān)鍵詞：運動物理學(xué)多元方程MATLAB編程圖形分析力學(xué)分析一、問題提出1.1背景資料與條件眾所周知，鉛球的投擲運動是運動員單手托住7.264kg(16磅)重的鉛球在直徑為o2.135m的投

5、擲圓內(nèi)將鉛球擲出并且使鉛球落入開角為45的有效扇形區(qū)域內(nèi)。以鉛球的落地點與投擲圓間的距離度量鉛球投擲的遠度，并以鉛球投擲遠度的大小評定運動員的成績。如圖1：45?2.135m圖1鉛球投擲場地1.2需要解決的問題(1)建立一個數(shù)學(xué)模型，將預(yù)測的投擲距離表示為初始速度和出手角度的函數(shù)。最優(yōu)的出手角度是什么？(2)如果在采用你所建議的出手角度時，該運動員不能使初始速度達到最大，那么他應(yīng)該更關(guān)心出手角度還是出手速度？應(yīng)該怎樣折中？(3)分析影響鉛球投擲遠度的因素有哪些？并由此分析下教練員在訓(xùn)練運動員時應(yīng)從哪些方面提高運動員的成績。1.3參考資料參考數(shù)

6、據(jù)資料如下：表1李素梅與斯盧皮亞內(nèi)克鉛球投擲成績姓名出手速度出手高度出手角度實測成績ov(m/s)h(m)?()李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯盧皮亞內(nèi)13.772.0640.0021.41克表2我國優(yōu)秀運動員的鉛球投擲數(shù)據(jù)姓名成績s(m)出手速度出手角度出手高度ov(m/s)?()h(m)李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黃志紅20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.

7、0835.131.95二、問題分析鉛球是一項非常重要的體育競技項目，而在一些重要的比賽中，運動員經(jīng)過訓(xùn)練，其投擲鉛球的力度基本相同，也就是說決定競賽勝負的往往是運動員的擲球技巧。而要提高技巧，運動員必須對鉛球的整個運動情況有所了解，以下是對各個影響鉛球擲遠因素的分析：問題一，為求出最佳投擲角，考慮到空氣阻力的影響非常小可以忽略。首先必須對鉛球的整個運動情況進行運動學(xué)的分析，根據(jù)運動學(xué)知識求出投擲水平位移L和出手角度θ、出手速度v之間的多元方程后，再對L關(guān)于θ求導(dǎo)，便可求得最佳出手角度θ的表達式。問題二，分析最優(yōu)出手角度θ與出手速度v的關(guān)系可以

8、通過分析鉛球受力情況，用牛頓力學(xué)公式表示出定量推力F0與最優(yōu)出手角度θ、出手速度v之間的等式，從而容易分析出θ與v之間的制約關(guān)系，另外為了更形象地表達出投擲水平位移