鉛球擲遠(yuǎn)問題-數(shù)學(xué)模型

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1、2012年四川理工學(xué)院第九屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了四川理工學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等)與隊(duì)外的任何人(包括指導(dǎo)教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果實(shí)違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果后其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公平、公正性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是(從A/B/

2、C/D中選擇一項(xiàng)填寫)：C我們的參賽報(bào)名號(hào)為(如果設(shè)置報(bào)名號(hào)的話)：所屬學(xué)校(請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?：四川理工學(xué)院黃嶺校區(qū)參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.趙彬2.李欣3.尹歡歡日期：2012年5月22日評(píng)閱編號(hào)(由評(píng)委團(tuán)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào))：編號(hào)專用頁(yè)評(píng)閱編號(hào)(由評(píng)委團(tuán)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào))：評(píng)閱記錄表評(píng)閱人評(píng)分備注鉛球投擲問題摘要本文主要對(duì)影響鉛球擲遠(yuǎn)成績(jī)因素進(jìn)行了研究，采用牛頓力學(xué)等物理的分析法和微分知識(shí)建立了數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用MATLAB軟件編程繪圖進(jìn)行模型求解和分析，使問題得以解決。問題一，由于空氣阻力、鉛球本身、天氣情況等因素的影響相對(duì)較小，可忽略。運(yùn)用

3、運(yùn)動(dòng)物理學(xué)知識(shí)建立投擲水平位移L和出手角度θ、出手速度v之間的多元方程關(guān)系，對(duì)擲遠(yuǎn)水平位移L關(guān)于θ求導(dǎo)可知，簡(jiǎn)化可得到最優(yōu)出手角度θ與出手速度v和出手高度h之間的函數(shù)關(guān)系，再運(yùn)用MATLAB軟件編程將這一關(guān)系圖作出(見圖3),可直觀的判斷運(yùn)動(dòng)員最優(yōu)出手角度的大致范圍在3842之間。問題二，為分析最優(yōu)出手角度θ與出手速度v的制約關(guān)系，先對(duì)鉛球做力學(xué)分析，運(yùn)用牛頓力學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型（見方程（13）），根據(jù)該模型可知，最優(yōu)出手角度θ會(huì)隨出手速度v的減小而減小，結(jié)合方程（9）可得，運(yùn)動(dòng)員不能使初速度達(dá)到最大的情況下，應(yīng)適當(dāng)減小投擲角度的結(jié)論。再利用

4、MATLAB軟件編程將投擲水平位移L和出手角度θ、出手速度v之間的關(guān)系圖作出(見圖5)，可以確切的求出各個(gè)最優(yōu)角度與初速度的對(duì)應(yīng)值。問題三，分析了影響鉛球投擲遠(yuǎn)度的因素，從空氣阻力、推力大小、出手高度、施力距離對(duì)鉛球擲遠(yuǎn)距離L的影響分別建立函數(shù)模型，通過取點(diǎn)繪圖的方法比較各因素的影響，最后根據(jù)結(jié)論有效的分析了教練員在訓(xùn)練運(yùn)動(dòng)員時(shí)應(yīng)從哪些方面提高運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)物理學(xué)多元方程MATLAB編程圖形分析力學(xué)分析一、問題提出1.1背景資料與條件眾所周知，鉛球的投擲運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)員單手托住7.264kg(16磅)重的鉛球在直徑為o2.135m的投

5、擲圓內(nèi)將鉛球擲出并且使鉛球落入開角為45的有效扇形區(qū)域內(nèi)。以鉛球的落地點(diǎn)與投擲圓間的距離度量鉛球投擲的遠(yuǎn)度，并以鉛球投擲遠(yuǎn)度的大小評(píng)定運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。如圖1：45?2.135m圖1鉛球投擲場(chǎng)地1.2需要解決的問題(1)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，將預(yù)測(cè)的投擲距離表示為初始速度和出手角度的函數(shù)。最優(yōu)的出手角度是什么？(2)如果在采用你所建議的出手角度時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員不能使初始速度達(dá)到最大，那么他應(yīng)該更關(guān)心出手角度還是出手速度？應(yīng)該怎樣折中？(3)分析影響鉛球投擲遠(yuǎn)度的因素有哪些？并由此分析下教練員在訓(xùn)練運(yùn)動(dòng)員時(shí)應(yīng)從哪些方面提高運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。1.3參考資料參考數(shù)

6、據(jù)資料如下：表1李素梅與斯盧皮亞內(nèi)克鉛球投擲成績(jī)姓名出手速度出手高度出手角度實(shí)測(cè)成績(jī)ov(m/s)h(m)?()李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯盧皮亞內(nèi)13.772.0640.0021.41克表2我國(guó)優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員的鉛球投擲數(shù)據(jù)姓名成績(jī)s(m)出手速度出手角度出手高度ov(m/s)?()h(m)李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黃志紅20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.

7、0835.131.95二、問題分析鉛球是一項(xiàng)非常重要的體育競(jìng)技項(xiàng)目，而在一些重要的比賽中，運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過訓(xùn)練，其投擲鉛球的力度基本相同，也就是說決定競(jìng)賽勝負(fù)的往往是運(yùn)動(dòng)員的擲球技巧。而要提高技巧，運(yùn)動(dòng)員必須對(duì)鉛球的整個(gè)運(yùn)動(dòng)情況有所了解，以下是對(duì)各個(gè)影響鉛球擲遠(yuǎn)因素的分析：?jiǎn)栴}一，為求出最佳投擲角，考慮到空氣阻力的影響非常小可以忽略。首先必須對(duì)鉛球的整個(gè)運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)求出投擲水平位移L和出手角度θ、出手速度v之間的多元方程后，再對(duì)L關(guān)于θ求導(dǎo)，便可求得最佳出手角度θ的表達(dá)式。問題二，分析最優(yōu)出手角度θ與出手速度v的關(guān)系可以

8、通過分析鉛球受力情況，用牛頓力學(xué)公式表示出定量推力F0與最優(yōu)出手角度θ、出手速度v之間的等式，從而容易分析出θ與v之間的制約關(guān)系，另外為了更形象地表達(dá)出投擲水平位移