線性方程組的求解方法及應(yīng)用開(kāi)題報(bào)告　

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1、開(kāi)題報(bào)告線性方程組的求解方法及應(yīng)用　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)）線性方程組求解在中國(guó)歷史久矣。對(duì)線性方程組的研究，中國(guó)比歐洲至少早1500年，記載在公元初《九章算術(shù)》方程章中?，F(xiàn)在中學(xué)講授的線性方程組的解法和《九章算術(shù)》介紹的方法大體相同。在科學(xué)計(jì)算中的許多問(wèn)題，例如，電學(xué)中的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題，船體放樣中的樣條函數(shù)計(jì)算，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合以及微分方程的差分方法或有限元方法求解等問(wèn)題，最終都?xì)w結(jié)為求解線性代數(shù)方程組?，F(xiàn)行高等代數(shù)教材只用行初等變換來(lái)解線性方程組，存在一定的局限性。本文主要討論了解線性方程組的直接法中的Gauss消元法，以及行初等變換、克萊

2、姆法則、標(biāo)準(zhǔn)上三角形求解法等。對(duì)于不同類(lèi)型的問(wèn)題，線性方程組的求解方法不盡相同。同時(shí)方程組存在解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題及線性方程組是否存在零解，如在實(shí)踐中遇到的線性方程組，它的方程個(gè)數(shù)未必等于未知量個(gè)數(shù)，即使方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)，也未必有唯一解，有可能無(wú)解或有無(wú)窮多解。這就需要我們?nèi)ジ鶕?jù)相關(guān)問(wèn)題去探究。馬克思曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“一門(mén)科學(xué)只有成功地應(yīng)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步”。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)已迅速滲透到各門(mén)學(xué)科之中，因而能強(qiáng)烈感受到數(shù)學(xué)的重要性。而應(yīng)用數(shù)學(xué)中很多用到了線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，而本選題涉及的線性方程組知識(shí)尤為重要，在實(shí)際生活的數(shù)學(xué)應(yīng)用中，對(duì)所需目標(biāo)進(jìn)行確定，接著進(jìn)一步明確一些決

3、策中的關(guān)鍵因素，即而確立線性方程組，進(jìn)而對(duì)此方程求解。因而求線性方程組解是線性代數(shù)中的精髓部分，恰當(dāng)?shù)厥褂梅椒?，可以使?jì)算過(guò)程比較簡(jiǎn)潔，避免了迂回復(fù)雜的計(jì)算。二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題也許會(huì)覺(jué)得解線性方程組會(huì)很容易，但事實(shí)上想要徹徹底底的完整得出方程組的解是非常不容易的。若要正確完整得出方程解，首先要具備一定的線性代數(shù)的知識(shí)，其次要分析對(duì)于什么樣類(lèi)型，采用什么樣的方法去解決更便捷、更有效。5對(duì)于不同類(lèi)型的問(wèn)題，線性方程組解法的適用就至關(guān)重要。同時(shí)方程組存在解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題及線性方程組是否存在零解，如在實(shí)踐中遇到的線性方程組，它的方程個(gè)數(shù)未必等于未知量個(gè)數(shù)，即使方程個(gè)數(shù)等于未知

4、量個(gè)數(shù)，也未必有唯一解，有可能無(wú)解或有無(wú)窮多解。這就需要我們?nèi)ジ鶕?jù)相關(guān)問(wèn)題去探究。本報(bào)告主要涉及到一些方程求解的方法，比如初等行變換、回代法、高斯消元法、標(biāo)準(zhǔn)上三角形法等。同時(shí)還介紹了線性方程組在以下幾方面的應(yīng)用，在幾何方面求點(diǎn)到平面的方程，空間中向量相關(guān)性的判別方法。2.1線性方程組的一些性質(zhì)線性方程組即一次方程組。線性方程組有一般形式、矩陣形式、向量形式。含個(gè)方程，個(gè)未知量的線性方程組的一般形式為：表示未知量，稱(chēng)系數(shù)項(xiàng)，稱(chēng)常數(shù)項(xiàng)。將方程組的系數(shù)組成矩陣來(lái)計(jì)算方程的解稱(chēng)為系數(shù)矩陣，在系數(shù)矩陣的右邊添上一列，這一列是線性方程組的等號(hào)右邊的值形成了增廣矩陣。線性方程組也可以用矩陣表示。

5、型線性方程組可表示為，稱(chēng)為線性方程組的系數(shù)矩陣；為線性方程組的增廣矩陣；方程組的解是使矩陣等式成立的維向量。在矩陣形式下，對(duì)增廣矩陣作初等變換不改變方程組的解。如矩陣和是行初等變換下等價(jià)的矩陣，即存在可逆矩陣，使，則線性方程組是等價(jià)的線性方程組。線性方程組也可以用向量表示。設(shè)矩陣是線性方程組的系數(shù)矩陣，用記的第列，即則型線性方程組可表示為方程組的解等價(jià)于列向量的線性組合；方程組的解就是列向量線性組合的組合系數(shù)。同時(shí)也可利用該形式下的系數(shù)矩陣和增廣矩陣來(lái)研究該方程組解的形式。如矩陣的秩是元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩是元非齊次線性方程組有解的充分必

6、要條件；是5元非齊次線性方程組唯一解的充分必要條件。2.2求線性方程組解的方法2.2.1初等變換法初等變換滿(mǎn)足以下三種矩陣變換：（1）對(duì)換矩陣的兩行（列）（2）用非零數(shù)矩陣乘矩陣的某一行（列）（3）把矩陣某一行（列）的倍加到另一行（列）上去用消元法解線性方程組就是對(duì)增廣矩陣施行一系列初等行變換。2.2.2克萊姆法則克萊姆法則定義：含個(gè)方程，個(gè)未知量的線性方程組的一般形式為：（*）當(dāng)其系數(shù)行列式時(shí)，有唯一解：，其中。2.2.3回代法有三種運(yùn)算可得到一個(gè)等價(jià)的方程組：（i)交換任意兩個(gè)方程的順序。(ii)任一方程兩邊同乘一個(gè)非零的實(shí)數(shù)。(iii)任一方程的倍數(shù)加到另一方程上。對(duì)給定的方程

7、組，可以使用這些運(yùn)算得到一個(gè)容易求解的等價(jià)方程組。若的方程組僅有一個(gè)解，則利用上面的運(yùn)算(i)和運(yùn)算(iii)可得到一個(gè)等價(jià)的“5嚴(yán)格三角形方程組”。然后從第個(gè)方程組解的，將其代入第個(gè)方程解得，將和的值代入到第個(gè)方程解得，以此類(lèi)推，此法即為回代法。2.2.4高斯消元法先對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行消元，再將化為為三角形式，確定分解，可通過(guò)下述兩步求解：第1步:前代。方程可寫(xiě)為形如令，可得因此，可以通過(guò)求解下三角方程組求得：由第一個(gè)方程可得。這個(gè)值可用于從第二個(gè)方程中求解