線性微分方程（組）的求解及若干應(yīng)用開題報(bào)告

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1、開題報(bào)告線性微分方程（組）的求解及若干應(yīng)用一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)）常微分方程是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，而線性微分方程是一類特殊的常微分方程，但也是相當(dāng)重要的一部分，因?yàn)樵诤芏辔⒎址匠糖蠼獾倪^程中都需要轉(zhuǎn)換成線性微分方程來求解．線性微分方程有著深刻而生動(dòng)的實(shí)際背景，從17世紀(jì)末開始，對(duì)天體問題、擺的運(yùn)動(dòng)及彈性理論等問題的數(shù)學(xué)刻畫引出一系列線性常微分方程．1690年雅各布·伯努利(JacobBernoulli,1654～1705)用簡(jiǎn)單的微分方程的方法解決了與鐘擺運(yùn)動(dòng)有關(guān)的等時(shí)問題，以及懸鏈線問

2、題．之后的雅各布·伯努利與約翰·伯努利兄弟還解決了許多類似的彈性問題，他們的工作推進(jìn)了微分方程的發(fā)展．線性微分方程還是理論聯(lián)系實(shí)踐的重要渠道之一，在物理、工程、力學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域都有重要作用．如電子計(jì)算機(jī)與無線電裝置的計(jì)算問題可歸為微分方程求解；彈道計(jì)算與飛機(jī)飛行中的穩(wěn)定性研究可歸為線性微分方程的求解．目前，線性微分方程的實(shí)際背景廣、應(yīng)用性強(qiáng)的特點(diǎn)已受到廣泛關(guān)注．許多國(guó)外教材和國(guó)內(nèi)新版教材已在書中明確強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，并在教材中編入實(shí)際應(yīng)用的例子，希望通過大量的實(shí)際問題突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生建立線性常微分方程

3、模型解決各種實(shí)際問題．在編寫教材和教學(xué)的過程中有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)建模思想，一方面可以促使學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模思想、方法，逐漸掌握并在實(shí)踐中應(yīng)用這一思想，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力；另一方面，教學(xué)目的從單純強(qiáng)調(diào)知識(shí)、技能轉(zhuǎn)向注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，也表明教學(xué)工作者教學(xué)觀念、教學(xué)思想的轉(zhuǎn)變，是時(shí)代進(jìn)步的標(biāo)志．線性微分方程（組）的求解及若干應(yīng)用這一課題，許多數(shù)學(xué)家早已經(jīng)展開過討論，并做了很多相關(guān)的課題研究和論文，經(jīng)閱讀大量的資料，對(duì)他們的主要成果闡述如下：文獻(xiàn)[1]-[4]主要是從線性微分方程能夠解決實(shí)際問題出發(fā)，介紹了線性

4、微分方程的背景以及應(yīng)用，表明其在物理、工程、力學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域都有重要作用．并且通過對(duì)常微分方程的幾個(gè)典型實(shí)例的分析，結(jié)合常微分方程基礎(chǔ)理論、基本方法和數(shù)學(xué)軟件的系統(tǒng)揭示該學(xué)科浸透數(shù)學(xué)建模思想，從而求解這些問題．文獻(xiàn)[5]-[6]中主要是介紹線性微分方程（組）的簡(jiǎn)化思想，目的是為了在求解的過程中可以比較簡(jiǎn)便的解答．即我們可以將許多非線性微分方程的問題轉(zhuǎn)換為線性微分方程，比如說非齊次方程問題化為齊次方程問題，一階線性方程組化為一階線性方程問題；還可以通過由高階線性方程問題化為低階線性方程問題．文獻(xiàn)[7]-[

5、9]主要討論關(guān)于高階線性微分方程的直接解法，給出了一些特殊情形下的求解過程以及一些計(jì)算公式．特別是對(duì)二階常（變）系數(shù)線性微分方程對(duì)的求解，運(yùn)用直接積分法；而對(duì)于高階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解和特解，則利用疊加原理，運(yùn)用簡(jiǎn)單的直接解法就可以求得其解．文獻(xiàn)[10]-[11]主要討論的是線性微分方程組的初等解法，于是，引進(jìn)了向量和矩陣的記號(hào)，因此特別是對(duì)于高階常系數(shù)非齊次線性微分方程組就可以轉(zhuǎn)化為由若干個(gè)相互獨(dú)立的高階常系數(shù)非齊次線性微分方程所組成，其系數(shù)可以利用矩陣的形式表達(dá)出來，通過高階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征根法和非齊次方程

6、的待定系數(shù)法求該方程組的基本解組及特解，最后通過初等變換求原方程組的基本解組及特解，從而可求出其通解．文獻(xiàn)[12]-[14]主要討論幾類變系數(shù)線性常微分方程組的求解，在學(xué)習(xí)線性微分方程（組）的時(shí)候，如何求解變系數(shù)的微分方程組就變得十分重要，在這里，我們主要闡述了一些求解方法，比如在運(yùn)用劉維爾公式的基礎(chǔ)上，能夠求出此類方程；在借用雙變換－未知函數(shù)的線性變換以及自變量的變換思想的作用下，可以把變系數(shù)線性常微分方程組化為簡(jiǎn)單易求的方程組．文獻(xiàn)[15]是討論Banach空間隱式常微分方程的解的存在性定理，在給出隱式常微分方程的條件下，運(yùn)用

7、Ascoli-Arzelap定理進(jìn)行證明其解的存在，從而使得結(jié)果比以往有更大的改進(jìn)．文獻(xiàn)[16]（第四章）主要是討論了線性系統(tǒng)的一般理論，從復(fù)數(shù)域上進(jìn)行研究，在矩陣、向量的形式下，運(yùn)用分解，凱萊-哈密爾頓分解定理等，同時(shí)求出了的解得存在性以及唯一性問題．不僅如此，還證明了一些重要的理論，進(jìn)而計(jì)算一些較復(fù)雜的問題．文獻(xiàn)[17]在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面是一部重要的工具書，書中收集了大約1650個(gè)常微分方程（組）的解和其解法的提示，還給出了許多重要的結(jié)果,以便在計(jì)算中能更好的應(yīng)用．內(nèi)容主要分為第一部分：一般解法，第二部分：邊值問題和特征值問題,第

8、三部分：各種微分方程．總而言之，線性微分方程（組）是一類非常重要的常微分方程（組），在很多情況下，對(duì)于求解非線性微分方程（組），我們都需要把它轉(zhuǎn)化為線性，因?yàn)檫@樣可以方便求解．因此，本文著重介紹了幾類特殊的線性微分方程（組）的求解方法，同時(shí)找尋一定