線(xiàn)性微分方程（組）的求解及若干應(yīng)用文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述線(xiàn)性微分方程（組）的求解及若干應(yīng)用一、前言部分（說(shuō)明寫(xiě)作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說(shuō)明有關(guān)主題爭(zhēng)論焦點(diǎn)）常微分方程是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，同時(shí)還作為了解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)重要數(shù)學(xué)工具．而本文所要討論的線(xiàn)性微分方程（組）則是一類(lèi)特殊的常微分方程．由于在很多微分方程求解的過(guò)程中，我們常常都會(huì)遇到一些困難，對(duì)于求解這類(lèi)方程，一般情況下我們是把它轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性微分方程，這樣便于求解．本文主要是研究線(xiàn)性微分方程（組）的求解及其若干應(yīng)用．因此，我們有必要掌握線(xiàn)性微分方程（組）的一些基本概念．在學(xué)習(xí)常微分方程的基礎(chǔ)上，我初步了解了線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)．在查閱并整理各類(lèi)相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，我更深一步地熟悉

2、了各種類(lèi)型的方程，并且能夠靈活、準(zhǔn)確、迅速地選用相應(yīng)的方法對(duì)其進(jìn)行求解．然而，在應(yīng)用線(xiàn)性微分方程求解實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，對(duì)于簡(jiǎn)單的，大家就信心滿(mǎn)滿(mǎn)；而一旦遇到一些困難，復(fù)雜的，就不知道從哪里入手，因此我們常常會(huì)討厭做這種題目，久而久之就會(huì)對(duì)它失去興趣，其實(shí)很多時(shí)候都是有規(guī)律可循的．除了要掌握好線(xiàn)性微分方程（組）的基礎(chǔ)知識(shí)外，本文對(duì)所學(xué)知識(shí)還進(jìn)行了概括與總結(jié)，并運(yùn)用相應(yīng)的方法來(lái)求解方程．為了更簡(jiǎn)便的求解難題，本文將主要介紹不同形式的線(xiàn)性微分方程（組）的若干解法，并做出更好的歸納，利于提高我們的解題技巧與能力．常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程組的解用特征根的求解方法，就有兩種情況，即單根與重根，則其求解時(shí)有一定

3、差別的．有些變系數(shù)線(xiàn)性齊次方程（組），可以選擇適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q為常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程（組），從而可求得其通解．例如對(duì)于歐拉方程在自變量變換下，可化為常系數(shù)的方程．這里為常數(shù)，該方程的特點(diǎn)是的階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是的次方乘以常數(shù)．因此，通過(guò)變量變換，把原方程化為常系數(shù)齊次微分方程的形式．　　二階線(xiàn)性方程的概念：一般形式為.其中、、是的連續(xù)函數(shù)．稱(chēng)為其對(duì)應(yīng)的二階線(xiàn)性齊次方程．Banach空間上的隱式常微分方程：下面定義是實(shí)數(shù)域上或者是復(fù)數(shù)域上的Banach空間，是實(shí)數(shù)，是正實(shí)數(shù)．對(duì)于，，，，，，下面把表示成集合，而函數(shù)是定義在上，并且在數(shù)域上變化，因此，我們定義隱式常微分方程為凱萊-哈密爾頓定理：如果，那么其

4、特征多項(xiàng)式滿(mǎn)足，在這里的就是零矩陣．二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對(duì)這些問(wèn)題的評(píng)述）常微分方程誕生于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法解決物理與力學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，它的發(fā)生發(fā)展史就是一部數(shù)學(xué)建模史．而線(xiàn)性微分方程又是一類(lèi)特殊的常微分方程，它占據(jù)著重要的地位，許多類(lèi)型的線(xiàn)性微分方程的發(fā)現(xiàn)都遵循著這樣一個(gè)過(guò)程：1)在工程或自然科學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題；2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，提煉出數(shù)學(xué)模型，建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式(含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式就是微分方程)，提出相應(yīng)的定解條件；3)求這個(gè)方程的解析解或數(shù)值解,或?qū)Ψ匠探獾男詰B(tài)進(jìn)行分析；4)用所得的結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際現(xiàn)象，或?qū)?wèn)題的發(fā)展變化趨勢(shì)進(jìn)行

5、預(yù)測(cè)．這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)建模思想是線(xiàn)性微分方程發(fā)展史所反映出的最重要的數(shù)學(xué)思想．從17世紀(jì)末開(kāi)始，對(duì)天體問(wèn)題、擺的運(yùn)動(dòng)及彈性理論等問(wèn)題的數(shù)學(xué)刻畫(huà)引出一系列常微分方程．在天文學(xué)上，一般星體都是通過(guò)觀(guān)察得到的，而海王星的發(fā)現(xiàn)卻是個(gè)罕見(jiàn)的例外．牛頓研究天體運(yùn)動(dòng)的微分方程，從理論上得到行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，而這些規(guī)律原來(lái)只是由開(kāi)普勒通過(guò)觀(guān)測(cè)歸納出的．而后1846年，法國(guó)巴黎天文臺(tái)的勒威耶(Leverrier,1811～1877)在對(duì)這個(gè)微分方程進(jìn)行數(shù)值分析計(jì)算的基礎(chǔ)上，預(yù)言太陽(yáng)系中還有第八顆行星的存在，并計(jì)算出了第八顆行星的位置，這之后人們按照他的計(jì)算結(jié)果通過(guò)觀(guān)察才找到海王星．這一事實(shí)既推動(dòng)了天

6、文學(xué)的發(fā)展，也促進(jìn)了微分方程的發(fā)展．1690年雅各布·伯努利(JacobBernoulli,1654～1705)用簡(jiǎn)單的微分方程的方法解決了與鐘擺運(yùn)動(dòng)有關(guān)的等時(shí)問(wèn)題，以及懸鏈線(xiàn)問(wèn)題．之后的雅各布·伯努利與約翰·伯努利兄弟還解決了許多類(lèi)似的彈性問(wèn)題，他們的工作推進(jìn)了微分方程的發(fā)展．線(xiàn)性微分方程是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中產(chǎn)生的，它的研究又促進(jìn)了實(shí)際問(wèn)題的解決，同時(shí)也促進(jìn)其他學(xué)科的發(fā)展．線(xiàn)性微分方程在物理、工程、力學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域都有重要作用．如電子計(jì)算機(jī)與無(wú)線(xiàn)電裝置的計(jì)算問(wèn)題可歸為微分方程求解;彈道計(jì)算與飛機(jī)飛行中的穩(wěn)定性研究可歸為線(xiàn)性微分方程的求解;化學(xué)反應(yīng)中穩(wěn)定性的研究

7、也可歸為線(xiàn)性微分方程求解等等[1]．目前，線(xiàn)性微分方程的實(shí)際背景廣、應(yīng)用性強(qiáng)的特點(diǎn)已受到廣泛關(guān)注．許多國(guó)外教材和國(guó)內(nèi)新版教材已在書(shū)中明確強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn),并在教材中編入實(shí)際應(yīng)用的例子，希望通過(guò)大量的實(shí)際問(wèn)題突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生建立線(xiàn)性常微分方程模型解決各種實(shí)際問(wèn)題．在編寫(xiě)教材和教學(xué)的過(guò)程中有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)建模思想，一方面可以促使學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模思想、方法，逐漸掌握并在實(shí)踐中應(yīng)用這一思想，提高學(xué)生