【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開題報告】線性微分方程（組）的求解及其若干應(yīng)用

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1、（　20　屆）本科畢業(yè)論文線性微分方程（組）的求解及其若干應(yīng)用摘要：準(zhǔn)確地理解和掌握線性微分方程(組)的理論及實際應(yīng)用，是學(xué)好常微分方程及其在各方面廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)，而其中掌握好線性微分方程(組)的解法是至關(guān)重要的．本文的主要目的是通過查閱大量的文獻(xiàn)資料，整理出線性微分方程(組)的求解方法和若干應(yīng)用，進(jìn)而提高分析問題、解決問題的基本能力．本文首先介紹了常系數(shù)線性微分方程(組)的解法，再介紹了變數(shù)線性微分方程(組)的解法，最后對具體實際問題建立數(shù)學(xué)模型，并解決它．關(guān)鍵詞：線性微分方程(組)；常（變）系數(shù)；（非）齊次TheSolutionsandApplicationsofLinearDiffer

2、entialEquationsAbstract：Toaccuratelyunderstandandgraspthetheoryandpracticalapplicationsoflineardifferentialequation(s)isthefoundationofordinarydifferentialequationwhichwidelyappliesinvariousaspects.Andgraspsthesolutionoflineardifferentialequation(s)isveryimportant.Thisarticle’smainpurposeisthrought

3、heconsultmassiveofliteraturematerial,reorganizingsolutionmethodsandseveralapplicationsoflineardifferentialequation(s),thenenhancingthebasicabilitytotheanalysisofissuesandsolutionoftheproblem.Firstthisarticleintroducesthesolutionofregularcoefficientsoflineardifferentialequation(s),seconditintroduces

4、thesolutionofvariablecoefficientsoflineardifferentialequation(s),finallysolvemathematicalmodelofthespecificpracticalproblems.Keywords:Lineardifferentialequation(s);Regular(variable)coefficients;(Non)homogeneous　目錄1引言11.1線性微分方程的背景及應(yīng)用11.2本文主要結(jié)構(gòu)22高階常系數(shù)線性微分方程（組）32.1背景與概念32.2齊次方程的特征值法52.3非齊次方程的求解方法62.3.

5、1常用解法62.3.2算子法92.3.3簡化待定系數(shù)法112.3.4直接積分法132.4常系數(shù)線性微分方程組的求解方法153高階變系數(shù)線性微分方程（組）163.1一般概念163.2基本解法173.2.1化為常系數(shù)法173.2.2常數(shù)變易法183.3幾類特殊方程的解法183.3.1降階法與變量替換法183.3.2冪級數(shù)法203.3.3雙變換法213.4變系數(shù)線性微分方程組的求解方法234線性微分方程（組）的若干應(yīng)用254.1在物理方面的應(yīng)用254.2在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用265總結(jié)28致謝29參考文獻(xiàn)301引言1.1線性微分方程的背景及應(yīng)用由于常微分方程是誕生于運用數(shù)學(xué)分析方法解決物理與力學(xué)問題的過

6、程中，是數(shù)學(xué)的一大分支，而線性微分方程又是一類特殊的常微分方程，是比較簡單的一部分，但也是相當(dāng)重要的一部分，主要是表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的一些實際應(yīng)用中有許多涉及到非線性微分方程（組）的問題，我們對它們通常是采用數(shù)學(xué)化歸思想[1]中的線性化的方法簡化為線性微分方程（組）來求解的，這樣就需要掌握好更多的理論以及解的結(jié)構(gòu)．因此，在進(jìn)一步學(xué)習(xí)線性微分方程的過程中，首先就應(yīng)了解線性微分方程的背景及應(yīng)用．在17世紀(jì)末開始，數(shù)學(xué)科學(xué)家們就已經(jīng)通過對一些天體問題、擺的運動及彈性理論等問題的數(shù)學(xué)刻畫引出了一系列線性常微分方程．例如在天文學(xué)上，一般星體都是通過觀察得到的，而海王星的發(fā)現(xiàn)卻是一個罕見的例外．牛頓根據(jù)微分方程

7、進(jìn)行研究天體運動，則從理論上得到行星運動的規(guī)律，而這些規(guī)律原本只是由開普勒通過觀測歸納出的．到1690年雅各布·伯努利(JacobBernoulli,1654～1705)起初還只是采用特殊的技巧來解決簡單的微分方程，即解決了與鐘擺運動有關(guān)的等時問題，以及懸鏈線問題，之后的雅各布·伯努利與約翰·伯努利兄弟還解決了許多類似的彈性問題，他們的工作推進(jìn)了微分方程的發(fā)展．到19世紀(jì)早期，柯西給微分學(xué)注入了一種嚴(yán)格性的要