線性微分方程（組）的求解及若干應(yīng)用文獻綜述

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1、文獻綜述線性微分方程（組）的求解及若干應(yīng)用一、前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點）常微分方程是一個重要的數(shù)學(xué)分支，同時還作為了解決實際問題的一個重要數(shù)學(xué)工具．而本文所要討論的線性微分方程（組）則是一類特殊的常微分方程．由于在很多微分方程求解的過程中，我們常常都會遇到一些困難，對于求解這類方程，一般情況下我們是把它轉(zhuǎn)換成線性微分方程，這樣便于求解．本文主要是研究線性微分方程（組）的求解及其若干應(yīng)用．因此，我們有必要掌握線性微分方程（組）的一些基本概念．在學(xué)習(xí)常微分方程的基礎(chǔ)上，我初步了解了線性方程解的結(jié)構(gòu)．在查閱并整理各類相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，我更深一步地熟悉

2、了各種類型的方程，并且能夠靈活、準確、迅速地選用相應(yīng)的方法對其進行求解．然而，在應(yīng)用線性微分方程求解實際數(shù)學(xué)問題時，對于簡單的，大家就信心滿滿；而一旦遇到一些困難，復(fù)雜的，就不知道從哪里入手，因此我們常常會討厭做這種題目，久而久之就會對它失去興趣，其實很多時候都是有規(guī)律可循的．除了要掌握好線性微分方程（組）的基礎(chǔ)知識外，本文對所學(xué)知識還進行了概括與總結(jié)，并運用相應(yīng)的方法來求解方程．為了更簡便的求解難題，本文將主要介紹不同形式的線性微分方程（組）的若干解法，并做出更好的歸納，利于提高我們的解題技巧與能力．常系數(shù)齊次線性微分方程組的解用特征根的求解方法，就有兩種情況，即單根與重根，則其求解時有一定

3、差別的．有些變系數(shù)線性齊次方程（組），可以選擇適當?shù)淖兞刻鎿Q為常系數(shù)線性齊次方程（組），從而可求得其通解．例如對于歐拉方程在自變量變換下，可化為常系數(shù)的方程．這里為常數(shù)，該方程的特點是的階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是的次方乘以常數(shù)．因此，通過變量變換，把原方程化為常系數(shù)齊次微分方程的形式．　　二階線性方程的概念：一般形式為.其中、、是的連續(xù)函數(shù)．稱為其對應(yīng)的二階線性齊次方程．Banach空間上的隱式常微分方程：下面定義是實數(shù)域上或者是復(fù)數(shù)域上的Banach空間，是實數(shù)，是正實數(shù)．對于，，，，，，下面把表示成集合，而函數(shù)是定義在上，并且在數(shù)域上變化，因此，我們定義隱式常微分方程為凱萊-哈密爾頓定理：如果，那么其

4、特征多項式滿足，在這里的就是零矩陣．二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對這些問題的評述）常微分方程誕生于運用數(shù)學(xué)分析方法解決物理與力學(xué)問題的過程中，它的發(fā)生發(fā)展史就是一部數(shù)學(xué)建模史．而線性微分方程又是一類特殊的常微分方程，它占據(jù)著重要的地位，許多類型的線性微分方程的發(fā)現(xiàn)都遵循著這樣一個過程：1)在工程或自然科學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題；2)對實際問題進行分析，提煉出數(shù)學(xué)模型，建立目標函數(shù)的關(guān)系式(含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式就是微分方程)，提出相應(yīng)的定解條件；3)求這個方程的解析解或數(shù)值解,或?qū)Ψ匠探獾男詰B(tài)進行分析；4)用所得的結(jié)果來解釋實際現(xiàn)象，或?qū)栴}的發(fā)展變化趨勢進行

5、預(yù)測．這個過程就是數(shù)學(xué)建模過程．數(shù)學(xué)建模思想是線性微分方程發(fā)展史所反映出的最重要的數(shù)學(xué)思想．從17世紀末開始，對天體問題、擺的運動及彈性理論等問題的數(shù)學(xué)刻畫引出一系列常微分方程．在天文學(xué)上，一般星體都是通過觀察得到的，而海王星的發(fā)現(xiàn)卻是個罕見的例外．牛頓研究天體運動的微分方程，從理論上得到行星運動的規(guī)律，而這些規(guī)律原來只是由開普勒通過觀測歸納出的．而后1846年，法國巴黎天文臺的勒威耶(Leverrier,1811～1877)在對這個微分方程進行數(shù)值分析計算的基礎(chǔ)上，預(yù)言太陽系中還有第八顆行星的存在，并計算出了第八顆行星的位置，這之后人們按照他的計算結(jié)果通過觀察才找到海王星．這一事實既推動了天

6、文學(xué)的發(fā)展，也促進了微分方程的發(fā)展．1690年雅各布·伯努利(JacobBernoulli,1654～1705)用簡單的微分方程的方法解決了與鐘擺運動有關(guān)的等時問題，以及懸鏈線問題．之后的雅各布·伯努利與約翰·伯努利兄弟還解決了許多類似的彈性問題，他們的工作推進了微分方程的發(fā)展．線性微分方程是在解決實際問題的過程中產(chǎn)生的，它的研究又促進了實際問題的解決，同時也促進其他學(xué)科的發(fā)展．線性微分方程在物理、工程、力學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等諸多領(lǐng)域都有重要作用．如電子計算機與無線電裝置的計算問題可歸為微分方程求解;彈道計算與飛機飛行中的穩(wěn)定性研究可歸為線性微分方程的求解;化學(xué)反應(yīng)中穩(wěn)定性的研究

7、也可歸為線性微分方程求解等等[1]．目前，線性微分方程的實際背景廣、應(yīng)用性強的特點已受到廣泛關(guān)注．許多國外教材和國內(nèi)新版教材已在書中明確強調(diào)這一點,并在教材中編入實際應(yīng)用的例子，希望通過大量的實際問題突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生建立線性常微分方程模型解決各種實際問題．在編寫教材和教學(xué)的過程中有意識地滲透數(shù)學(xué)建模思想，一方面可以促使學(xué)生深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模思想、方法，逐漸掌握并在實踐中應(yīng)用這一思想，提高學(xué)生