線性微分方程（組）的求解及若干應(yīng)用開題報告

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1、開題報告線性微分方程（組）的求解及若干應(yīng)用一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢）常微分方程是一個重要的數(shù)學(xué)分支，而線性微分方程是一類特殊的常微分方程，但也是相當重要的一部分，因為在很多微分方程求解的過程中都需要轉(zhuǎn)換成線性微分方程來求解．線性微分方程有著深刻而生動的實際背景，從17世紀末開始，對天體問題、擺的運動及彈性理論等問題的數(shù)學(xué)刻畫引出一系列線性常微分方程．1690年雅各布·伯努利(JacobBernoulli,1654～1705)用簡單的微分方程的方法解決了與鐘擺運動有關(guān)的等時問題，以及懸鏈線問

2、題．之后的雅各布·伯努利與約翰·伯努利兄弟還解決了許多類似的彈性問題，他們的工作推進了微分方程的發(fā)展．線性微分方程還是理論聯(lián)系實踐的重要渠道之一，在物理、工程、力學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等諸多領(lǐng)域都有重要作用．如電子計算機與無線電裝置的計算問題可歸為微分方程求解；彈道計算與飛機飛行中的穩(wěn)定性研究可歸為線性微分方程的求解．目前，線性微分方程的實際背景廣、應(yīng)用性強的特點已受到廣泛關(guān)注．許多國外教材和國內(nèi)新版教材已在書中明確強調(diào)這一點，并在教材中編入實際應(yīng)用的例子，希望通過大量的實際問題突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生建立線性常微分方程

3、模型解決各種實際問題．在編寫教材和教學(xué)的過程中有意識地滲透數(shù)學(xué)建模思想，一方面可以促使學(xué)生深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模思想、方法，逐漸掌握并在實踐中應(yīng)用這一思想，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力；另一方面，教學(xué)目的從單純強調(diào)知識、技能轉(zhuǎn)向注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，也表明教學(xué)工作者教學(xué)觀念、教學(xué)思想的轉(zhuǎn)變，是時代進步的標志．線性微分方程（組）的求解及若干應(yīng)用這一課題，許多數(shù)學(xué)家早已經(jīng)展開過討論，并做了很多相關(guān)的課題研究和論文，經(jīng)閱讀大量的資料，對他們的主要成果闡述如下：文獻[1]-[4]主要是從線性微分方程能夠解決實際問題出發(fā)，介紹了線性

4、微分方程的背景以及應(yīng)用，表明其在物理、工程、力學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等諸多領(lǐng)域都有重要作用．并且通過對常微分方程的幾個典型實例的分析，結(jié)合常微分方程基礎(chǔ)理論、基本方法和數(shù)學(xué)軟件的系統(tǒng)揭示該學(xué)科浸透數(shù)學(xué)建模思想，從而求解這些問題．文獻[5]-[6]中主要是介紹線性微分方程（組）的簡化思想，目的是為了在求解的過程中可以比較簡便的解答．即我們可以將許多非線性微分方程的問題轉(zhuǎn)換為線性微分方程，比如說非齊次方程問題化為齊次方程問題，一階線性方程組化為一階線性方程問題；還可以通過由高階線性方程問題化為低階線性方程問題．文獻[7]-[

5、9]主要討論關(guān)于高階線性微分方程的直接解法，給出了一些特殊情形下的求解過程以及一些計算公式．特別是對二階常（變）系數(shù)線性微分方程對的求解，運用直接積分法；而對于高階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解和特解，則利用疊加原理，運用簡單的直接解法就可以求得其解．文獻[10]-[11]主要討論的是線性微分方程組的初等解法，于是，引進了向量和矩陣的記號，因此特別是對于高階常系數(shù)非齊次線性微分方程組就可以轉(zhuǎn)化為由若干個相互獨立的高階常系數(shù)非齊次線性微分方程所組成，其系數(shù)可以利用矩陣的形式表達出來，通過高階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征根法和非齊次方程

6、的待定系數(shù)法求該方程組的基本解組及特解，最后通過初等變換求原方程組的基本解組及特解，從而可求出其通解．文獻[12]-[14]主要討論幾類變系數(shù)線性常微分方程組的求解，在學(xué)習線性微分方程（組）的時候，如何求解變系數(shù)的微分方程組就變得十分重要，在這里，我們主要闡述了一些求解方法，比如在運用劉維爾公式的基礎(chǔ)上，能夠求出此類方程；在借用雙變換－未知函數(shù)的線性變換以及自變量的變換思想的作用下，可以把變系數(shù)線性常微分方程組化為簡單易求的方程組．文獻[15]是討論Banach空間隱式常微分方程的解的存在性定理，在給出隱式常微分方程的條件下，運用

7、Ascoli-Arzelap定理進行證明其解的存在，從而使得結(jié)果比以往有更大的改進．文獻[16]（第四章）主要是討論了線性系統(tǒng)的一般理論，從復(fù)數(shù)域上進行研究，在矩陣、向量的形式下，運用分解，凱萊-哈密爾頓分解定理等，同時求出了的解得存在性以及唯一性問題．不僅如此，還證明了一些重要的理論，進而計算一些較復(fù)雜的問題．文獻[17]在數(shù)學(xué)學(xué)習方面是一部重要的工具書，書中收集了大約1650個常微分方程（組）的解和其解法的提示，還給出了許多重要的結(jié)果,以便在計算中能更好的應(yīng)用．內(nèi)容主要分為第一部分：一般解法，第二部分：邊值問題和特征值問題,第

8、三部分：各種微分方程．總而言之，線性微分方程（組）是一類非常重要的常微分方程（組），在很多情況下，對于求解非線性微分方程（組），我們都需要把它轉(zhuǎn)化為線性，因為這樣可以方便求解．因此，本文著重介紹了幾類特殊的線性微分方程（組）的求解方法，同時找尋一定