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《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.1 等差數(shù)列（第1課時）等差數(shù)列的概念及通項公式學(xué)案（含解析）新人教B版必修5》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第1課時 等差數(shù)列的概念及通項公式學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解等差數(shù)列的定義.2.會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式，能運用等差數(shù)列的通項公式解決一些簡單的問題.3.掌握等差中項的概念．知識點一 等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，可正可負(fù)可為零．知識點二 等差中項的概念如果三個數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x與y的等差中項，且A＝.思考 下列所給的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列：(1)2,4
2、；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案 插入的數(shù)分別為(1)3，(2)2，(3)0，(4).知識點三 等差數(shù)列的通項公式若一個等差數(shù)列{an}，首項是a1，公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.此公式可用疊加法證明．1．?dāng)?shù)列4,4,4，……是等差數(shù)列．( √ )2．?dāng)?shù)列3,2,1是等差數(shù)列．( √ )3．?dāng)?shù)列{an}的通項公式為an＝則{an}是等差數(shù)列．( × )4．等差數(shù)列{an}中，a1，n，d，an任給三個，可求其余．( √ )題型一 等差數(shù)列的概念例1 判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列？(1)9,7,5,3，…
3、，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….解 由等差數(shù)列的定義得(1)(2)(5)為等差數(shù)列，(3)(4)不是等差數(shù)列．反思感悟 判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列，就是判斷從第二項起該數(shù)列的每一項減去它的前一項的差是否為同一個常數(shù)，但當(dāng)數(shù)列項數(shù)較多或是無窮數(shù)列時，逐一驗證顯然不行，這時可以驗證an＋1－an(n≥1，n∈N＋)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1 數(shù)列{an}的通項公式an＝2n＋5(n∈N＋)，
4、則此數(shù)列( )A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項為5的等差數(shù)列D．是公差為n的等差數(shù)列答案 A解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差為2的等差數(shù)列．題型二 等差中項例2 在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c，使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．解 ∵－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，∴b是－1與7的等差中項，∴b＝＝3.又a是－1與3的等差中項，∴a＝＝1.又c是3與7的等差中項，∴c＝＝5.∴該數(shù)列為－1,1,3,5,7.反思感悟 在等差數(shù)列{an}中，由定義有an
5、＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，從而由等差中項的定義知，等差數(shù)列從第2項起的每一項都是它前一項與后一項的等差中項．跟蹤訓(xùn)練2 若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5，求m和n的等差中項．解 由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中項為＝3.題型三 等差數(shù)列通項公式的求法及應(yīng)用例3 在等差數(shù)列{an}中，(1)若a5＝15，a17＝39，試判斷91是否為此數(shù)列中的項．(2)若a2＝11
6、，a8＝5，求a10.解 (1)因為解得所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.令2n＋5＝91，得n＝43.因為43為正整數(shù)，所以91是此數(shù)列中的項．(2)設(shè){an}的公差為d，則解得∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3.反思感悟 根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系，列出方程求解的思想方法，稱為方程思想．等差數(shù)列{an}中的每一項均可用a1和d表示，這里的a1和d就像構(gòu)成物質(zhì)的基本粒子，我們可以稱為基本量．跟蹤訓(xùn)練3 (1)求等差數(shù)列8,5,2，…的第20項；(2)判斷－401是不是等差數(shù)列－5，
7、－9，－13，…的項，如果是，是第幾項？解 (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得這個數(shù)列的通項公式為an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由題意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是這個數(shù)列的第100項．等差數(shù)列的判定與證明典例1 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．(1)證明 由an＋1＝3an＋
8、3n，兩邊同時除以3n＋1，得＝＋，即－＝.由等差數(shù)列的定義知，數(shù)列是以＝為首項，為公差的等差數(shù)列．(2)解 由(1)知＝＋(n－1)×＝，故an＝n·3n-1，n∈N＋.典例2 已知數(shù)列{an}：a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差
