【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文】隱函數(shù)的理論與應(yīng)用

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1、（　20　屆）本科畢業(yè)論文隱函數(shù)的理論與應(yīng)用摘要：通常我們遇到的函數(shù)都是因變量用自變量的一個(gè)解析式表示的，如，，.，這種形式的函數(shù)我們稱之為顯函數(shù).但在許多實(shí)際問題中，變量之間的函數(shù)關(guān)系往往不是用顯式形式表示的，而是通過一個(gè)（或多個(gè)）方程或來確定的，這時(shí)我們稱由或確定的函數(shù)為隱函數(shù).本文首先給出隱函數(shù)，隱函數(shù)組的定義、定理、定理的推廣，接下來敘述了隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，如顯化法，公式法和參數(shù)法等．然后敘述了隱函數(shù)極值定理，再通過利用隱函數(shù)極值定理求隱函數(shù)的極值，最后介紹了隱函數(shù)的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：隱函數(shù)；隱函數(shù)組；導(dǎo)數(shù)；極值；曲線；曲面

2、TheTheoryandApplicationoftheImplicitFunctionsAbstract：Usually,functionswemetareexpressedbyindependentvariable’sanalyticexpression,Suchas，.,thisformofexplicitfunctionisjustcalledtheImplicitFunction.However,inmanyparcticalproblems,thefunctionalrelationshipbetweenvariab

3、lesisoftennotexplicitlyexpressedinusing,butthroughone(ormore)equationsortodetermine,Thenwecallthefunctiondefinedbyorimplicitfunctions.Thispapergivesthedefinitionsofimplicitfunctionandimplicitfunctiongroup,theorems,theorem’spopularize,thendescribemethodstotheimplicitf

4、unctionderivation,suchasExplicitation,formulamethod,parametricmethodandsoon.Thendescribetheextremevaluetheoremofimplicitfunction,andthroughextremevaluetheoremoftheimplicitfunctionsolvingextremevalueoftheimplicitfunction,finallyintroducetheapplicationofimplicitfunctio

5、n.Keywords:Implicitfunction;Implicitfunctiongroup;derivative;extremum;Curvedline;Curvedface目錄1隱函數(shù)的基本概念11.1隱函數(shù)的定義11.2隱函數(shù)的定理11.3隱函數(shù)存在定理的推廣32隱函數(shù)組的基本概念102.1隱函數(shù)組的定義102.2隱函數(shù)組的定理103隱函數(shù)的求導(dǎo)143.1偏導(dǎo)數(shù)的基本概念143.2隱函數(shù)求導(dǎo)的方法154隱函數(shù)的極值194.1隱函數(shù)極值定理194.2隱函數(shù)的極值求法215隱函數(shù)的應(yīng)用255.1幾何中的應(yīng)用255.2經(jīng)濟(jì)

6、方面中的應(yīng)用266小結(jié)30致謝31參考文獻(xiàn)321隱函數(shù)的基本概念通常我們遇到的函數(shù)都是因變量用自變量的一個(gè)解析式（或分段函數(shù)用不同的解析式）表示的，如，，.，這種形式的函數(shù)我們稱之為顯函數(shù).但在許多實(shí)際問題中，變量之間的函數(shù)關(guān)系往往不是用顯式形式表示的，而是通過一個(gè)（或多個(gè)）方程或來確定的，這時(shí)我們稱由或確定的函數(shù)為隱函數(shù)[1].我們首先介紹一下隱函數(shù)的定義．1.1隱函數(shù)的定義定義1.1[2]：設(shè),，函數(shù):.對(duì)于方程（1-1）若存在集合與，使得對(duì)于任何，恒有惟一確定的，它與一起滿足方程（1-1），則稱由方程（1-1）確定一個(gè)定義

7、在上，值域含于的隱函數(shù).1.2隱函數(shù)的定理最簡(jiǎn)單形式的隱函數(shù)定理處理如下形式的方程：.（1-2）問題是要決定該方程能否把確定為的函數(shù).如果能，則對(duì)于某個(gè)函數(shù)有，我們就說被（1-2）式“隱含地”確定[3].隱函數(shù)存在惟一性定理[2]若滿足下列條件：28（i）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)；（ii）（通常稱為初始條件）；（iii）在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；（iv），則在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)，方程惟一地確定了一個(gè)定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)（隱函數(shù)），使得①時(shí)且；②在內(nèi)連續(xù).證：先證隱函數(shù)的存在性與惟一性.由條件（iv），不妨設(shè)（若，則可討論）.由條件（

8、iii）在內(nèi)連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在點(diǎn)的某一閉的方領(lǐng)域，使得在其上每一點(diǎn)處都有.因而，對(duì)每個(gè)固定的，作為的一元函數(shù)，必定在上嚴(yán)格增且連續(xù).由初始條件（ii）可知.再由的連續(xù)性條件（i），又可知道與在上也是連續(xù)的.因此由保號(hào)性存在，當(dāng)時(shí)恒有.28如圖所示