隱函數(shù)的理論與應(yīng)用文獻(xiàn)綜述

《隱函數(shù)的理論與應(yīng)用文獻(xiàn)綜述》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。

1、文獻(xiàn)綜述隱函數(shù)的理論與應(yīng)用一、前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點(diǎn)）通常我們遇到的函數(shù)都是因變量用自變量的一個解析式（或分段函數(shù)用不同的解析式）表示的，如，，.，這種形式的函數(shù)我們稱之為顯函數(shù).但在許多實(shí)際問題中，變量之間的函數(shù)關(guān)系往往不是用顯式形式表示的，而是通過一個（或多個）方程或來確定的，這時我們稱由或確定的函數(shù)為隱函數(shù).本人通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)來對隱函數(shù)做一個論述.下面先來介紹隱函數(shù)，隱函數(shù)組的基本概念.定義[1]：設(shè),，函數(shù):.對于方程（1）若存在集合與，使得對于任何，恒有惟一確定的，它與一起滿足方程（1），則稱由方

2、程（1）確定一個定義在上，值域含于的隱函數(shù).定義[2]：設(shè)和為定義在區(qū)域上的兩個三元函數(shù)。若存在區(qū)間,對于內(nèi)任意一點(diǎn),分別有區(qū)間和上唯一的一對值,,它們與一起滿足方程組（2）；則說方程組(2)確定了兩個定義在區(qū)間上,值域分別落在和內(nèi)的函數(shù).我們稱這兩個函數(shù)為由方程組(2)所確定的隱函數(shù)組,若分別記這兩個函數(shù)為,,則在區(qū)間上成立恒等式和.隱函數(shù)存在性條件[3]：隱函數(shù)必須在指出確定它的方程以及，的取值范圍后才有意義.在理解了隱函數(shù)，隱函數(shù)組定義及存在條件的基礎(chǔ)上，我們要開始解決隱函數(shù)存在定理及推廣問題，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的極值問題.本論文的目

3、的是在原有知識體系的基礎(chǔ)上加以整理和歸納，概括出隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，并輔以典型的例題來論證方法的可行性和實(shí)用性，進(jìn)而介紹了隱函數(shù)的求導(dǎo)方法在幾何方面和日常實(shí)際中的應(yīng)用，使我們所學(xué)知識加以鞏固和提高，起到“溫故”而“知新”的作用.二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對這些問題的評述）如果方程能確定與的對應(yīng)關(guān)系，那么稱這個方程為隱函數(shù)[4].本人通過查閱相關(guān)的文獻(xiàn)、資料，對隱函數(shù)的知識做了總結(jié)和歸納，并利用隱函數(shù)的知識解決實(shí)際問題.隱函數(shù)存在惟一性定理[1]若滿足下列條件：（i）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)；（ii）（通常稱為初始條件）；（i

4、ii）在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；（iv），則在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)，方程惟一地確定了一個定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)（隱函數(shù)），使得①時且；②在內(nèi)連續(xù).隱函數(shù)存在定理的推廣定理1[5]設(shè)在的一個領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，滿足1）2）存在正數(shù)及，使以下（）、（）兩條件至少有一個成立（）（）這里等是關(guān)于的導(dǎo)數(shù).那么存在上的連續(xù)函數(shù)，使.定理2[6]函數(shù)是帶域上的有界函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)處處存在，且滿足，在上可測，則存在，使得.定理3[7]若函數(shù)滿足下列條件:（1）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)；（2）；（3）在內(nèi)存在關(guān)于的直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且;（4）.則當(dāng)為偶數(shù)時,在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi),方程惟一地確定了一個定

5、義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)(隱函數(shù)),使得（1）時且；（2）在內(nèi)連續(xù);注:當(dāng)為奇數(shù)時,無法判斷隱函數(shù)的存在性,也無法判斷惟一性.隱函數(shù)組定理[8]設(shè)方程組（3），若（3）中的與滿足：（i）在上連續(xù)，；（ii）；（iii）在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（iv），則、使，，即有，，滿足及，；、在內(nèi)連續(xù)；、在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且隱函數(shù)求導(dǎo)的方法[9]1、顯化法把隱函數(shù)化為顯函數(shù)后，再利用顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).此種方法常用于較容易化為顯函數(shù)的隱函數(shù)的求導(dǎo)，但是此種方法由于受有些隱函數(shù)不能或較難化為顯函數(shù)限制，而不是很常用.例：方程確定了是的函數(shù)，求對的導(dǎo)數(shù).解：原

6、方程化為，所以.但是，不是所有的隱函數(shù)都能化為顯函數(shù)，例如：方程：就不能用顯化法.2、公式法利用公式：來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法[10].這種方法要求先把確定隱函數(shù)的方程寫成的形式，再對的兩邊同時分別對求導(dǎo)數(shù)，然后再利用該公式求出.而且在對的兩邊同時分別求導(dǎo)數(shù)時，需要先后把看作常數(shù)(其實(shí)是根據(jù)為的獨(dú)立變量)這對初學(xué)者來說不容易分辨.而且此方法的計算量較大.例：方程：確定了是的函數(shù)，求對的導(dǎo)數(shù).解：令（*）對（*）式兩邊同時對的導(dǎo)數(shù)，得：對（*）式兩邊同時對的導(dǎo)數(shù)，得：再由公式.注：由上面的計算過程我們可以看出：第一，本題計算較為復(fù)雜；第二，在對求對的導(dǎo)數(shù)時，將看作

7、常數(shù)，在對求對的導(dǎo)數(shù)時，將看作常數(shù).3、微商法利用對確定隱函數(shù)的方程兩邊同時求微分，再根據(jù)函數(shù)的微分與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系（對的導(dǎo)數(shù)即為的微分與的微分的商）求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.此種方法與公式法有著同樣的缺點(diǎn)，即：在求微分的過程中需要分別把看作獨(dú)立變量，而且該方法比公式法的計算過程更復(fù)雜一些.例：方程：確定了是的函數(shù)，求對的導(dǎo)數(shù).解：對上方程的兩邊同時求微分，得.4.參數(shù)法引入?yún)?shù)把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成由參數(shù)方程所確定的函數(shù)，再利用參數(shù)方程組所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則來求該隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.該方法在把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成由參數(shù)方程組所確定的函數(shù)時，步驟較為復(fù)雜，因此一般很少使

8、用.例：方程確定了是的函數(shù)，求對的導(dǎo)數(shù)