隱函數(shù)的理論與應(yīng)用開題報(bào)告

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1、開題報(bào)告隱函數(shù)的理論與應(yīng)用　　　　　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢）通常我們遇到的函數(shù)都是因變量用自變量的一個(gè)解析式（或分段函數(shù)用不同的解析式）表示的，如，，.，這種形式的函數(shù)我們稱之為顯函數(shù).但在許多實(shí)際問題中，變量之間的函數(shù)關(guān)系往往不是用顯式形式表示的，而是通過一個(gè)（或多個(gè)）方程或來確定的，這時(shí)我們稱由或確定的函數(shù)為隱函數(shù).二、相關(guān)研究的最新成果及動(dòng)態(tài)本文的主要目的是通過對大量文獻(xiàn)資料的查閱，尋找各種相關(guān)信息，向人們介紹隱函數(shù)的理論知識，并且通過隱函數(shù)的知識解決一些

2、幾何問題和實(shí)際問題.本論文首先引出一些關(guān)于隱函數(shù)的概念．以下是有關(guān)概念：定義[1]：設(shè),，函數(shù):.對于方程（1）若存在集合與，使得對于任何，恒有惟一確定的，它與一起滿足方程（1），則稱由方程（1）確定一個(gè)定義在上，值域含于的隱函數(shù).定義[2]：設(shè)和為定義在區(qū)域上的兩個(gè)三元函數(shù)。若存在區(qū)間,對于內(nèi)任意一點(diǎn),分別有區(qū)間和上唯一的一對值,,它們與一起滿足方程組（2）；則說方程組(2)確定了兩個(gè)定義在區(qū)間上,值域分別落在和內(nèi)的函數(shù).我們稱這兩個(gè)函數(shù)為由方程組(2)所確定的隱函數(shù)組,若分別記這兩個(gè)函數(shù)為,,則在區(qū)間上

3、成立恒等式和.隱函數(shù)存在惟一性定理[3]若滿足下列條件：（i）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)；（ii）（通常稱為初始條件）；（iii）在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；（iv），則在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)，方程惟一地確定了一個(gè)定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)（隱函數(shù)），使得①時(shí)且；②在內(nèi)連續(xù).隱函數(shù)存在定理的推廣定理1[4]設(shè)在的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，滿足1）2）存在正數(shù)及，使以下（）、（）兩條件至少有一個(gè)成立（）（）這里等是關(guān)于的導(dǎo)數(shù).那么存在上的連續(xù)函數(shù)，使定理2[5]函數(shù)是帶域上的有界函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)處處存在，且滿足，在上可測，則存在，使得.定

4、理3[6]若函數(shù)滿足下列條件:（1）函數(shù)在以為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)；（2）；（3）在內(nèi)存在關(guān)于的直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且;（4）.則當(dāng)為偶數(shù)時(shí),在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi),方程惟一地確定了一個(gè)定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)(隱函數(shù)),使得（1）時(shí)且；（2）在內(nèi)連續(xù);注:當(dāng)為奇數(shù)時(shí),無法判斷隱函數(shù)的存在性,也無法判斷惟一性.隱函數(shù)組定理[7]設(shè)方程組（3），若（3）中的與滿足：（i）在上連續(xù)，；（ii）；（iii）在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（iv），則、使，，即有，，滿足及，；、在內(nèi)連續(xù)；、在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且隱函數(shù)求導(dǎo)的方法[

5、8]1、顯化法把隱函數(shù)化為顯函數(shù)后，再利用顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).此種方法常用于較容易化為顯函數(shù)的隱函數(shù)的求導(dǎo)，但是此種方法由于受有些隱函數(shù)不能或較難化為顯函數(shù)限制，而不是很常用.2、公式法利用公式：來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法[9].這種方法要求先把確定隱函數(shù)的方程寫成的形式，再對的兩邊同時(shí)分別對求導(dǎo)數(shù)，然后再利用該公式求出.而且在對的兩邊同時(shí)分別求導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要先后把看作常數(shù)(其實(shí)是根據(jù)為的獨(dú)立變量)這對初學(xué)者來說不容易分辨.而且此方法的計(jì)算量較大.3、微商法利用對確定隱函數(shù)的方程兩邊同時(shí)求微分，再

6、根據(jù)函數(shù)的微分與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系（對的導(dǎo)數(shù)即為的微分與的微分的商）求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.此種方法與公式法有著同樣的缺點(diǎn)，即：在求微分的過程中需要分別把看作獨(dú)立變量，而且該方法比公式法的計(jì)算過程更復(fù)雜一些.4.參數(shù)法引入?yún)?shù)把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成由參數(shù)方程所確定的函數(shù)，再利用參數(shù)方程組所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則來求該隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.該方法在把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成由參數(shù)方程組所確定的函數(shù)時(shí)，步驟較為復(fù)雜，因此一般很少使用.5、復(fù)合法把隱函數(shù)轉(zhuǎn)換成復(fù)合函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來求該隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.該方法的原理類似于

7、對數(shù)求導(dǎo)法原理，但比對數(shù)求導(dǎo)法適用性更廣泛.6、直接法直接把確定隱函數(shù)的方程中的看成是的函數(shù),再對方程的兩邊同時(shí)求對的導(dǎo)數(shù)，從而得到一個(gè)含有的方程，由此方程解出的方法.該方法具有很好的適用性，因此也被廣泛使用，但是該方法要求使用者比較熟悉復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法等一些基本的導(dǎo)數(shù)知識，而且若能夠把此方法和復(fù)合法靈活地結(jié)合起來使用，將是求導(dǎo)數(shù)問題的一個(gè)極其有用的工具.隱函數(shù)極值定理定理1[10]設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且，則當(dāng)時(shí),由方程確定的隱函數(shù)在處取得極大值;當(dāng)時(shí),由方程確定的隱函數(shù)在處取得

8、極小值.定理2[11]設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)具有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且，.由方程所確定的元函數(shù)為，則當(dāng)為正定矩陣時(shí),在處取得極小值;當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí),在處取得極大值;當(dāng)為不定矩陣時(shí),在處不取得極值.其中.隱函數(shù)[12]的極值求法（一）隱函數(shù)確定的函數(shù)的極值求解步驟歸納如下[13]：⑴利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法求出.⑵求出函數(shù)的定義域內(nèi)特殊的點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)（駐點(diǎn)），即的點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的點(diǎn)；有的隱函數(shù)還存在同時(shí)既是導(dǎo)數(shù)等