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《【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開題報告】凸函數(shù)性質(zhì)的討論》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、（20__屆）本科畢業(yè)論文凸函數(shù)性質(zhì)的討論摘要：在本文中，我們首先介紹了凸集、凸函數(shù)的定義等；接著我們又給出了凸函數(shù)的一些基本性質(zhì)及其判定方法；最后，我們研究了凸函數(shù)的不等式在不等式證明中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：凸集；凸函數(shù)；凸性；不等式ThediscussionofpropertiesofconvexfunctionAbstract:Inthispaper,wefirstlyintroduceconvexset,convexfunctionisdefined,etc.Andthenwealsogivesomebasicpropertiesof
2、convexfunctionanditsdeterminantmethods.Finally,westudytheapplicationsofJenseninequalityofconvexfunctioninprovinginequalities.Keywords:convexset;convexfunction;convexity;Jenseninequality目錄1序言11.1論文選題的背景、意義11.2相關(guān)研究的成果及動態(tài)12凸集22.1凸集的基本概念22.1.1凸集與凸組合22.1.2代數(shù)運(yùn)算52.1.3凸錐62.2凸集上的
3、投影72.3凸集的分離定理103凸函數(shù)123.1凸函數(shù)的定義123.2凸函數(shù)的性質(zhì)133.3凸函數(shù)的判定定理223.4凸函數(shù)的應(yīng)用264凸函數(shù)的次微分和共軛函數(shù)344.1凸函數(shù)的次微分344.2共軛函數(shù)35總結(jié)37致謝38參考文獻(xiàn)391序言1.1論文選題的背景、意義凸函數(shù)是凸分析的重要研究對象，包括凸函數(shù)的基本性質(zhì)、運(yùn)算、連續(xù)性等。而凸分析和非光滑分析是20世紀(jì)60年代至80年代相繼發(fā)展形成的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支。作為描述和解決非光滑問題的有力工具，它們在非線性最優(yōu)化、多目標(biāo)決策、最優(yōu)控制、對策論、變分學(xué)、逼近理論以及數(shù)理經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的
4、應(yīng)用。事實(shí)上凸分析主要研究的凸函數(shù)（凸泛函）在通常意義下是非光滑的，因此從這一意義上說，凸分析也是非光滑分析的組成部分和重要基礎(chǔ)，而非光滑分析則是凸分析研究的延伸和發(fā)展。1.2相關(guān)研究的成果及動態(tài)凸函數(shù)的研究結(jié)果已在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，例如在不等式、泛函分析、最優(yōu)化理論、運(yùn)籌學(xué)、控制論及數(shù)理經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域?？梢哉f，凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，在不等式的研究中尤為重要，而不等式的研究最終歸結(jié)為研究函數(shù)的性質(zhì)，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)就顯得十分必要了。常用的凸函數(shù)有兩種，一種叫上凸函數(shù)，即曲線位于每一點(diǎn)切線的下方或曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩
5、點(diǎn)連線上方的函數(shù)；另一種叫下凸函數(shù)，即曲線位于每一點(diǎn)切線的上方或曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線下方的函數(shù)。有關(guān)凸函數(shù)的研究理論十分豐富，許多未知的領(lǐng)域正等待著我們?nèi)ヌ剿鳌?02凸集2.1凸集的基本概念2.1.1凸集與凸組合定義2.1.1設(shè)，如果對任意，有，則稱為凸集。由定義可以看出，所謂凸集就是這樣的集合，它的任意兩點(diǎn)的連線都在集合中，可以說凸集具有明顯的幾何意義。定理2.1.1設(shè)是任意指標(biāo)集，是凸集，則的交是中的凸集。證明若為空集或單點(diǎn)集，結(jié)論顯然成立。假設(shè)，則。由于是凸集，則對于，有，故，所以是凸集，定理得證。定義2.1.2設(shè)
6、，則點(diǎn)稱為的一個凸組合。凸組合是凸分析中的一個重要概念，它與凸集有密切聯(lián)系。定義2.1.1意味著凸集就是“其中任意兩點(diǎn)的凸組合仍屬于它本身的集合”。而實(shí)際上，我們也可以通過任意有限點(diǎn)的凸組合來定義凸集，下面的定理就刻畫了這樣一個事實(shí)。定理2.1.2是凸集的充要條件是中所有元素的凸組合還在中。證明設(shè)是凸集，，我們將證明的凸組合屬于。對用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；當(dāng)時，由凸集的定義，結(jié)論也成立。設(shè)結(jié)論在時成立，要證明對于滿足，如果，60則.不失一般性，假設(shè)，這時，.根據(jù)歸納法假設(shè)，這是因?yàn)?，上式為的凸組合，再由凸集的定義，有.另一方面
7、，設(shè)集合中元素的所有凸組合都在自身中，則的任意兩個元素的凸組合也在中，于是是凸集，定理得證。定義2.1.3中集合的凸包是由中的一切凸組合形成的集合，記為，換言之，當(dāng)且僅當(dāng)可表示為，其中，為一正整數(shù)。很容易驗(yàn)證，的凸包是包含的最小凸集。事實(shí)上，不難驗(yàn)證它是包含的所有凸集的交集。凸包也是一個給定非凸集合進(jìn)行凸化的手段。中有限點(diǎn)集，其中的凸包由形如的向量構(gòu)成，其中，且有，亦可表示為，它是空間中的一個凸多面體。由定義2.1.3知，凸包是由的所有有限多個點(diǎn)的凸組合構(gòu)成的集合，但定義2.1.3沒有對構(gòu)成這個凸組合所需的點(diǎn)數(shù)給出任何限制，實(shí)際上，對于
8、維空間中的集合，只需至多60個點(diǎn)的組合就可以表示中的點(diǎn)，下面的定理就揭示了這樣的事實(shí)。定理2.1.3（定理）設(shè)，則的凸包中的任意一點(diǎn)可以表示成中至多個點(diǎn)的凸組合，即對任意，存在常數(shù)以及，滿足，使得.（2.1
