【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文】凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用

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1、（20__屆）本科畢業(yè)論文凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用摘要：本文首先介紹了凸集理論的研究背景和意義，然后給出了一般線性空間下凸集的定義及幾個定義等價性的充要條件，探討了凸集的Minkowski泛函的性質(zhì)和一些幾何性質(zhì)，并給出了這些性質(zhì)的詳細證明，同時利用凸集的性質(zhì)和相關(guān)理論證明了常微分方程初值問題解的存在性定理．除此之外，我們還結(jié)合一些實際問題的數(shù)學(xué)模型，探討了凸集理論在數(shù)學(xué)規(guī)劃問題上的應(yīng)用．關(guān)鍵詞：凸集；泛函分析；線性空間；常微分方程ThePropertiesandApplicationsofConvexSetsAbstract:Inthispaper

2、,weintroducetheresearchrackgroundandmeaningofconvexsettheory．Meanwhile,wesummarizetheequivalentrelationsofseveraldefinitionsforconvexsetsinthelinearspace,anddiscussestheirminkowskifunctionalandgeometricproperties,aswellasthedetailproofoftheseproperties.Furthermore,byusingthe

3、propertiesofconvexsetandcorrelationtheory,weprooftheexistencetheoremofsolutionsofinitialvalueprobleminordinarydifferentialequations.Besides,bycombiningsomemathematicalmodelofpracticalproblem,wedisscusstheapplicationsofconvexsettheoryinmathematicalprogrammingproblem．Keywords:

4、convexset；functionalanalysis；linearspace；ordinarydifferentialequation目錄1緒論11．1凸集的背景11．2凸集的意義22凸集的定義42．1凸集的一般定義42．2　凸集定義的幾個等價性充要條件53凸集的性質(zhì)73．1一般線性空間下Minkowski泛函的性質(zhì)73．2線性賦范空間下的結(jié)論83．3凸集的一些幾何性質(zhì)104凸集理論的相關(guān)應(yīng)用124．1Brouwer與Schauder不動點定理124．2利用不動點定理證明常微分方程初值問題解的存在性定理144．3凸集在平面幾何中的應(yīng)用15結(jié)

5、束語17致謝18參考文獻191緒論　　1．1凸集的背景凸集的產(chǎn)生與分析學(xué)有著密切的聯(lián)系.分析學(xué)包括微分方程、無窮級數(shù)、微分幾何、函數(shù)論、積分方程、變分法、泛函分析等數(shù)學(xué)分支，這些學(xué)科的總稱也常常叫做數(shù)學(xué)分析，有時被用作是微積分的同義語.可以說，17世紀(jì)到19世紀(jì)上半葉的數(shù)學(xué)史，幾乎就是數(shù)學(xué)分析的歷史.17世紀(jì)由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分，為數(shù)學(xué)的研究提供了強有力的工具，此后的大部分數(shù)學(xué)家的注意力，都被這有著無限發(fā)展前途的學(xué)科所吸引，開始謀求用微積分這一有力的工具去解決愈來愈多的物理問題，但他們很快發(fā)現(xiàn)不得不去對付一類新的更復(fù)雜的問題，這類問題不

6、能通過簡單的積分解決，要解決這類問題需要專門的技術(shù)，這樣，微分方程這門學(xué)科就應(yīng)運而生了.作為對一門新的數(shù)學(xué)分支的探索，伯努利家族的貢獻尤為突出.在1691年到1692年之間他們先后解決了懸掛著的變密度非彈性軟繩、等厚度的彈性繩以及在每一點上的作用力都指向一個固定中心的細繩所成形狀的問題.在解決這些問題的過程中，他們總結(jié)出了解微分方程的變量分離法，還提出了著名的伯努利方程.到了18世紀(jì)，歐拉在前人的基礎(chǔ)上做了大量的工作，從而使微分方程形成自身獨特的理論體系.之后法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾將其方法加以整理，給出了求非其次線性微分方程的通解的一般方法；另一位

7、法國數(shù)學(xué)家拉格朗日則又得出了通過變易常數(shù)求變系數(shù)常微分方程特解的方法，這些方法都是現(xiàn)今求微分方程的有效方法.18世紀(jì)后期不斷出現(xiàn)的特殊的微分方程的求解問題，使數(shù)學(xué)家逐漸招架不住了，于是轉(zhuǎn)向?qū)獾拇嬖谛詥栴}的思考，即給定一個微分方程，它在給定的初始條件和邊界條件下是否有解？在這個過程中，許多著名的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家開展了大量的研究工作，如柯西、利普西茨、皮卡、施圖姆、劉維爾等人.特別是法國數(shù)學(xué)家龐加萊使微分方程與函數(shù)論建立了密切的聯(lián)系，從而產(chǎn)生了微分方程的解析理論.雖然18世紀(jì)數(shù)學(xué)分析的發(fā)展已經(jīng)達到空前燦爛的程度，然而數(shù)學(xué)家們在運用微積分方法的過程中

8、并沒能使無窮小這一概念的本質(zhì)得到澄清，這就導(dǎo)致了微積分學(xué)理論缺乏嚴密的理論基礎(chǔ).進入19世紀(jì)，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾、法國數(shù)學(xué)家柯西、德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉