凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用開題報告

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1、開題報告凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用　　　　一、選題的背景、意義凸集理論從本世紀(jì)三十年代以來日益受到人們的重視，二十世紀(jì)六十年代中期，由于數(shù)學(xué)規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、變分學(xué)、最優(yōu)控制理論等多方面的需要，誕生了一門新的數(shù)學(xué)分支——凸分析.凸分析的基本研究對象是凸集和凸函數(shù)，基本工具是凸集分離定理.凸集是一個十分重要的概念，在泛函分析、概率論、統(tǒng)計決策論和信息論中有廣泛的應(yīng)用[1].20世紀(jì)60年代以后發(fā)展迅速，凸集的概念通過不同的途徑被推廣，提出了吸收凸集、對稱凸集、嚴(yán)格凸集、一致凸集、強凸集等概念.雖然在實際中我們常常遇到非凸集，但此時可以引進偽凸、擬凸等廣義凸集的概念，并說明它們可保留凸集的

2、某些主要性質(zhì)，從而使其他領(lǐng)域中用這些凸集性質(zhì)得到的結(jié)果，可拓廣到廣義凸集上來[2]凸集在近代數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，本文主要討論的是一般線性空間中的凸集.本文給出了凸集的幾個等價命題和他們之間的推導(dǎo)，及凸集的有關(guān)性質(zhì)和它在分析中的一些相關(guān)應(yīng)用.凸集的產(chǎn)生與分析學(xué)有著密切的聯(lián)系，而數(shù)學(xué)分析理論的建立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展.利用凸集的定義及其基本性質(zhì)，能使一些過去較為復(fù)雜的平面幾何問題轉(zhuǎn)化為比較容易簡單的問題，從而得到巧妙簡捷的解決．一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，它必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的．凸集理論也是這樣．直到二十世紀(jì)六十

3、年代中期，由于數(shù)學(xué)規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、變分學(xué)、最優(yōu)控制理論等多方面的需要，誕生了一門新的數(shù)學(xué)分支——凸分析.這一分支由于基本內(nèi)容相當(dāng)初等，而應(yīng)用又十分廣泛，因此許多結(jié)果很快就成為廣大數(shù)學(xué)工作者手中的有力工具.凸分析的基本研究對象是凸集和凸函數(shù)，基本工具是凸集分離定理.在很多數(shù)學(xué)問題的分析與證明中，我們都需要用到凸集．凸集有許多等價的定義和性質(zhì)，這些定義和性質(zhì)在分析學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．不僅如此，在很多的科學(xué)領(lǐng)域中，凸集理論也能得到很好的應(yīng)用.按照傳統(tǒng)的、經(jīng)典的說法，數(shù)學(xué)是研究“現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式”的科學(xué)，或者簡略地說，是研究數(shù)和形的科學(xué)[3].然而到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的時代，

4、已經(jīng)很難區(qū)分哪些屬于數(shù)的范疇，哪些屬于形的范疇.凸集與凸函數(shù)有著很好的性質(zhì)，我們考慮微分方程時，考慮的集值映射其像集一般情況下是緊凸集，因此弄清楚凸集的一些性質(zhì)對我們分析問題很重要[4].通過借助可分空間的共軛空間中有界閉球的弱星序列緊性，可以證明在無窮維數(shù)列空間中有限個閉球之并的凸包仍為閉集[5].凸集的不同等價定義用起來各有方便之處，使一些較復(fù)雜的問題迎刃而解．在很多數(shù)學(xué)問題的分析與證明中，我們都需要用到凸集，例如在數(shù)學(xué)分析、泛函分析、最優(yōu)化理論等當(dāng)中．下面對研究凸集的性質(zhì)及其應(yīng)用需要提及的內(nèi)容詳見文獻[6-9].二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題本文主要是對泛函分析中一類特殊的

5、集合——凸集的研究，包括凸集的定義、性質(zhì)和在各個領(lǐng)域的應(yīng)用．具體的研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題如下：問題（1）是線性空間到線性空間的線性算子，且為單射，則是中凸集的充分必要條件是什么？問題（2）是線性空間一含有的凸集的充分必要條件又是什么？本文同時提及各種定義之間的相互推導(dǎo)，凸集的各種性質(zhì)和利用性質(zhì)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，突顯凸集的特殊地位和意義．問題（3）探求凸集一些常用性質(zhì)的證明，具體探討下列性質(zhì)的證明性質(zhì)1設(shè)是線性空間，是上含有的凸子集，若為的Minkowski泛函，則具有下列性質(zhì)：（1），；（2）（，）（正齊次性）（3）（）（次可加性）性質(zhì)2設(shè)是一個空間，是一個含有點的閉凸集.如

6、果是的Minkowski泛函，那么下半連續(xù)，且有.此外，如果還是有界的，那么適合.又若以為一內(nèi)點，那么是吸收的，并且還是一致連續(xù)的.性質(zhì)3若是中的一個緊凸子集，則必存在正整數(shù)，使得同胚于中的單位球.問題（4）我們就來利用上述凸集的性質(zhì)及相關(guān)理論來尋求證明常微分方程初值問題的解的存在性定理．三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，預(yù)期達到的目標(biāo)利用凸集的性質(zhì)來解決分析中的一些問題，如根據(jù)Arzela-Ascoli定理和Schsuder不動點定理可以得到常微分方程初值問題的存在性定理.對于凸集相關(guān)的平面幾何問題，要求的知識點不多但靈活性強[10]，需要我們熟練掌握、靈活運用凸集的定義及其基本性

7、質(zhì).另外，利用凸集分離定理可以得出新的一類凸規(guī)劃問題的等價條件，給出這一類問題的新方法，也是凸集的一個重要的應(yīng)用領(lǐng)域.除此之外，還可以將凸集的性質(zhì)應(yīng)用在數(shù)學(xué)規(guī)劃上，以及相對應(yīng)的一些實際問題上，幫助人們利用數(shù)學(xué)模型解決生活中一些復(fù)雜的問題．雖然在實際中我們常常遇到非凸集，但此時可以引進偽凸、擬凸等廣義凸集的概念，并說明它們可保留凸集的某些主要性質(zhì)，從而使其他領(lǐng)域中用這些凸集性質(zhì)得到的結(jié)果，可拓廣到廣義凸集上來.四、論文詳細工作進度和安排第七學(xué)期第