淺談伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用【開題報告】

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1、畢業(yè)設(shè)計開題報告數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)淺談伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用一、綜述本課題國內(nèi)外研究動態(tài),說明選題的根據(jù)和意義矩陣是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象,是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一,也是數(shù)學(xué)研究及應(yīng)用的一個重要工具.矩陣這一概念自19世紀英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出以后,就形成了矩陣代數(shù)這一系統(tǒng)理論,而且還廣泛應(yīng)用于實際生活.把現(xiàn)實世界中的實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型,求出模型的解,驗證模型的合理性后,用它的解來解釋現(xiàn)實問題,這其中要用到許多的數(shù)學(xué)知識,而矩陣作為一種認識復(fù)雜問題的簡捷的數(shù)學(xué)工具,在數(shù)學(xué)模型中具有重要的作用,如在各

2、循環(huán)賽中常用的賽況表格、國民經(jīng)濟的數(shù)學(xué)問題等.矩陣可以分為很多類,有初等矩陣、分塊矩陣、冪等矩陣、伴隨矩陣等,在不同的矩陣類型中近幾年來分別取得了不同的成果與進展.而伴隨矩陣作為矩陣中較特殊的一類,其理論與應(yīng)用有自身的特點,它是矩陣理論及線性代數(shù)中的一個基本概念,是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具.在線性代數(shù)的解題方面,靈活地運用這些伴隨矩陣的性質(zhì)有效地解決了線性代數(shù)中的問題,且它有助于拓寬解決線性代數(shù)問題的思路.比如,矩陣間一些關(guān)系的證明,求矩陣的逆,一些復(fù)合矩陣的行列式等.運用伴隨矩陣的性質(zhì)還可以用來解決一

3、些復(fù)雜的問題.比如,用伴隨矩陣的性質(zhì):可以解決《美國數(shù)學(xué)月刊》上的E3227號問題(注:若和為階矩陣,存在非零向量和向量,使得,.設(shè)為中第列被中的第列替換后所得到的矩陣,證明).現(xiàn)今不僅專業(yè)研究伴隨矩陣的數(shù)學(xué)工作者愈加眾多,而且量子力學(xué)、剛體力學(xué)、流體力學(xué)、自動控制等各個學(xué)科或尖端技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)的研究工作者也都以它為必需的工具.如蔡建樂提出了用特征矩陣的伴隨矩陣求慣量主軸的代數(shù)方法,這有利于剛體力學(xué)的發(fā)展,體現(xiàn)伴隨矩陣的物理意義.正因為它有如此重要的作用,古今中外對其研究頗多,并且得到了許多重要的成果.如楊聞

4、起探討了伴隨矩陣在對稱、反對稱、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性質(zhì);王航平也在伴隨矩陣的定義與基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上,探討了伴隨矩陣的運算性質(zhì),2特別研究了乘積矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì),并提出了自伴隨矩陣的定義及其性質(zhì),歸納了伴隨矩陣較強的繼承性;鄭茂玉也提出了伴隨矩陣與原矩陣之間的聯(lián)系,探討了伴隨矩陣的性質(zhì),并且將伴隨矩陣推廣到了重;徐淳寧也探究了重伴隨矩陣的定義及其性質(zhì),得到了一些有意義的結(jié)果,使伴隨矩陣的內(nèi)涵更加豐富.上述結(jié)論都是在為方陣的前提下提出來的,對于不為方陣的情況又有許多種性質(zhì).賈美娥提出

5、了關(guān)于矩陣的伴隨矩陣的定義與一些性質(zhì)的證明.這一主張的提出,更加完善了伴隨矩陣的性質(zhì).伴隨矩陣的性質(zhì)還有很多,在此不一一舉例.盡管前人的研究很多,但是目前對伴隨矩陣的性質(zhì)還沒有一套完整的證明.在《高等代數(shù)》和《線性代數(shù)》的各種教材中,伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn)的,并沒有進行深入的研究.但是在后繼的課程的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用伴隨矩陣來解決很多問題,為此我們常常不知所措.為了解決更多的問題,有必要探討它的性質(zhì)及其一些應(yīng)用.本文將對伴隨矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用進行探討,這不僅有利于教師的教學(xué),還有助于學(xué)生的學(xué)習(xí),以便

6、我們更得心應(yīng)手地運用伴隨矩陣的各種性質(zhì)解決線性代數(shù)中的相關(guān)問題及拓寬它在各領(lǐng)域中的應(yīng)用.二、研究的基本內(nèi)容,擬解決的主要問題:研究的基本內(nèi)容:本文主要研究伴隨矩陣的性質(zhì)及其各領(lǐng)域上的應(yīng)用.擬解決的主要問題:證明伴隨矩陣的性質(zhì)和探究它的應(yīng)用,并作推廣.三、研究步驟、方法及措施:研究步驟:1.明確任務(wù),查閱相關(guān)資料,做好筆記.2.在老師指導(dǎo)下,撰寫開題報告,翻譯英文資料,撰寫文獻綜述.4.上交開題報告、文獻綜述、英文資料;確定整個論文的思路,列出論文提綱.5.確定論文提綱,撰寫畢業(yè)論文.6.上交論文初稿.7.

7、反復(fù)修改論文.8.論文定稿.方法、措施:通過到圖書館、上網(wǎng)等查閱收集資料,參考相關(guān)內(nèi)容.在老師指導(dǎo)下,與同學(xué)研究討論,用推理論證的方法來解決問題.四、參考文獻:2[1]R.A.Horn,C.R.Johnson.MatrixAnalysis[M].CambridgeUniversityPress,1986.[2]蔡建樂.用特征矩陣的伴隨矩陣求解慣量主軸方向[J].大學(xué)物理,1995,14(9):21~22.[3]楊聞起.伴隨矩陣的性質(zhì)[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報,2004,(3):20~25.[4]王航平.伴隨

8、矩陣的若干性質(zhì)[J].中國計量學(xué)院學(xué)報,2004,15(3):247~249.[5]鄭茂玉.伴隨矩陣的性質(zhì)[J].南方冶金學(xué)院學(xué)報,1991,12(3):55~60.[6]徐淳寧.關(guān)于伴隨矩陣的推廣[J].長春郵電學(xué)院學(xué)報,1997,15(4):63~64.[7]賈美娥.關(guān)于矩陣的伴隨矩陣[J].赤峰學(xué)院學(xué)報,2009,25(9):16~17.[8]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)小組編.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003