淺談伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用【文獻(xiàn)綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)淺談伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用高等代數(shù)是最具有生命力的數(shù)學(xué)分支之一,從它誕生起即日已成為人類認(rèn)識(shí)并進(jìn)而改造自然的有力工具,成為數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一.在長(zhǎng)期不斷的發(fā)展過(guò)程中,它一方面直接從與生產(chǎn)實(shí)踐聯(lián)系的其他科學(xué)技術(shù)中汲取活力,另一方面又不斷地以全部數(shù)學(xué)科學(xué)的新舊成就來(lái)武裝自己,所以它的問(wèn)題和方法越來(lái)越顯得豐富多彩[1].線性代數(shù)是高等代數(shù)的重要組成部分,是討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科.它在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用,因

2、而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位.在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天,計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無(wú)不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分.隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系,還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系,各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線性化,而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展,線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái),線性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具[2].矩陣,是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象,是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一,也是數(shù)學(xué)研究及應(yīng)用的一個(gè)重要工具.矩陣這一具體概念是由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利首先提出

3、的,并形成了矩陣代數(shù)這一系統(tǒng)理論.在實(shí)際生活中,很多問(wèn)題可以借用矩陣抽象出來(lái)進(jìn)行表述并進(jìn)行運(yùn)算,如在各循環(huán)賽中常用的賽況表格、國(guó)民經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題等[2-3].數(shù)學(xué)上,一個(gè)矩陣乃一行列的矩形陣列.矩陣由數(shù)組成,或更一般的有某環(huán)中元素組成,矩陣常見于線性代數(shù)、線性規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)分析、解析幾何,以及組合數(shù)學(xué)等.矩陣在微積分、圖論、對(duì)策、數(shù)據(jù)擬合等模型中也有著非常廣泛的應(yīng)用.如數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性后，用它的解來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，這其中要用到許多的數(shù)學(xué)知識(shí),而矩陣作為一

4、種認(rèn)識(shí)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)捷的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)學(xué)模型中具有重要的作用,從數(shù)學(xué)規(guī)劃模型和線性代數(shù)模型中分析矩陣應(yīng)用,通過(guò)分析來(lái)提高數(shù)學(xué)建模的技巧,可以使數(shù)學(xué)建模更好地服務(wù)于各個(gè)領(lǐng)域[4].又如在圖論中應(yīng)用于頂點(diǎn)覆蓋問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題、哈密頓回路問(wèn)題和最大團(tuán)問(wèn)題等[2].矩陣可以分為很多類,有初等矩陣、分塊矩陣[5]、冪等矩陣[7]、Hankel矩陣[8]等等,2近幾年來(lái),在不同的矩陣類型中分別取得了不同的成果與進(jìn)展.矩陣的初等變換和初等矩陣有著緊密的聯(lián)系.對(duì)于有些命題的證明,若用矩陣的初等變換則較煩瑣,而改用初等矩陣就能

5、簡(jiǎn)化證明過(guò)程,并且一目了然.分塊矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)很重要的工具,研究許多問(wèn)題都要用到它,特別是在處理級(jí)數(shù)較高的矩陣時(shí),分塊之后,使各矩陣之間或矩陣內(nèi)部之間的關(guān)系變得更清楚.通過(guò)分塊矩陣在計(jì)算行列式、證明相關(guān)矩陣秩的不等式以及求矩陣的逆等三方面的應(yīng)用研究,每個(gè)部分都給出了一些實(shí)用性較強(qiáng)的定理和經(jīng)典例題,通過(guò)這些具體實(shí)例的應(yīng)用可以看出分塊矩陣在處理相關(guān)問(wèn)題上的簡(jiǎn)便性和靈活性.冪等矩陣是一類重要而又常見的矩陣類型,通過(guò)研究其性質(zhì)和應(yīng)用,可優(yōu)化解題和證明問(wèn)題的過(guò)程,使思維更簡(jiǎn)潔.Hankel矩陣、Bezout矩陣

6、等特殊矩陣在數(shù)字信息處理、數(shù)值計(jì)算、系統(tǒng)理論和自動(dòng)控制理論中都有廣泛的應(yīng)用.利用矩陣與其中多項(xiàng)式的第一友陣適于的纏繞關(guān)系,以及和的變量變換關(guān)系給出了Hankel矩陣所滿足的幾種新型合同關(guān)系、纏繞關(guān)系;利用Bezout矩陣的Barnett分解以及中的零點(diǎn)與其第一友陣特征值的一致性,給出了利用Hankel矩陣的非奇異性判定多項(xiàng)式對(duì)互素的新方法.對(duì)各種類型的矩陣的研究還有很多.接下來(lái)重點(diǎn)介紹下近幾年來(lái)伴隨矩陣研究中所取得的研究成果.文獻(xiàn)[9]中,楊聞起探討了伴隨矩陣在對(duì)稱、反對(duì)稱、正定、半正定、正交、相似和特征值等

7、方面的性質(zhì);文獻(xiàn)[10]中,王航平也在伴隨矩陣的定義與基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上,探討了伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì),特別研究了乘積矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì),并提出了自伴隨矩陣的定義及其性質(zhì),歸納了伴隨矩陣較強(qiáng)的繼承性;鄭茂玉在文獻(xiàn)[11]中提出了伴隨矩陣與原矩陣之間的聯(lián)系,探討了伴隨矩陣的性質(zhì),并且將伴隨矩陣推廣到了重;文獻(xiàn)[12]中,徐淳寧也探究了重伴隨矩陣的定義及其性質(zhì),得到了一些有意義的結(jié)果.賈美娥在文獻(xiàn)[13]中定義了矩陣的伴隨矩陣,并初步探討了它的一些性質(zhì),使伴隨矩陣的性質(zhì)更具科學(xué)性、全面性.其他的文獻(xiàn)中探討伴隨矩陣的性

8、質(zhì)還有很多,在此不一一舉例.伴隨矩陣作為矩陣中較特殊的一類,其理論與應(yīng)用有自身的特點(diǎn),它是矩陣?yán)碚摷熬€性代數(shù)中的一個(gè)基本概念,是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具.在線性代數(shù)的解題方面,靈活地運(yùn)用這些伴隨矩陣的性質(zhì)有助于拓寬解決線性代數(shù)問(wèn)題的思路.比如,矩陣間一些關(guān)系的證明,求矩陣的逆,一些復(fù)合矩陣的行列式等.運(yùn)用伴隨矩陣的性質(zhì)還可以用來(lái)解決一些復(fù)雜的問(wèn)題,比如,用伴隨矩陣的性質(zhì):2可以解決《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》