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1、伴隨矩陣的性質(zhì)及其應用摘要：伴隨矩陣是矩陣理論及線性代數(shù)屮的一個基本概念,是許多數(shù)學分支研宄的重要工具。伴隨矩陣作為矩陣中較為特殊的一類，其理論和應用有自身的特點.而在大學的學習中，伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn)的，并沒有深入的研究.本文分類研究伴隨矩陣的性質(zhì)，并討論其證明過程,得到一系列有意義的結論。（1）介紹伴隨矩陣在其行列式、秩等方面的基木性質(zhì)；（2）研宄數(shù)乘矩陣、乘積矩陣、分塊矩陣的伴隨矩陣的運算性質(zhì)及伴隨矩陣在逆等方面的運算性質(zhì)；（3）研究矩陣與其伴隨矩陣的關聯(lián)性質(zhì)，主要介紹由矩陣的對稱性、正定性、奇異性
2、、正交性推出伴隨矩陣的對稱性、正定性、奇異性、正交性；⑷研究伴隨矩陳間的關系性質(zhì)，主要研究由兩矩陳的相似、合同等關系推出對應的兩伴隨矩陣之間的關系；（5）研究伴隨矩陣在特征值與特征向量等方面的性質(zhì);（6）給出m重伴隨矩陣的定義及其一般形式，研宄m重伴隨矩陣的相應的性質(zhì)。木文的主要創(chuàng)新點在于研究了一類分塊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)。矩陣是高等代數(shù)學屮的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應用數(shù)學學科屮。在物理學屮，矩陣于電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。在天體物理、量子力學等領域，也會出現(xiàn)
3、無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。然而伴隨矩陣在矩陣中占據(jù)著比較特殊的位置，通過它可以推導出逆矩陣的計算公式，使方陣求逆的問題得到解決，伴隨矩陣的性質(zhì)和應用冇著與眾不同的特點。在矩陣計算及討論中，常常會遇到伴隨矩陣，但對伴隨矩陣的一些性質(zhì)進行系統(tǒng)討論的卻很少，以下將主要針對伴隨矩陣的各種性質(zhì)及應用討論。關鍵詞：伴隨矩陣可逆矩陣方陣性質(zhì)1、伴隨矩陣的定義定義1.設是矩陣A=????番??蠢??參??參??參?_anan2'A,A2A/：A21A”AinA*:?????參拳拳參???????????稱為A的伴隨矩陣。?4,?
4、????????nna\a2aina2n；中元素％的代數(shù)余子式，則矩陣定義2.設A為n階方陣，如果有矩陣B滿足AB=BA=E，則B就稱為A的逆矩陳，記為B=A一*。*注意：只有方陣才有伴隨矩陣和逆矩陣。2、伴隨矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1.設A為n階方陣，AA*=A'A=
5、A
6、E0000d其中心
7、斗d00d證明：由行列式按一列（行）展開:AA'=A*A=;:??????00性質(zhì)2.n階矩陣A可逆的充分必要條件是矩陣A非退化證明：若4判，則A可逆，且;反之，若a可逆，則有aa4=e，所以IaTHaIIa'HilAl故
8、A
9、=0.即
10、A非退化。性質(zhì)3.1.若A為非奇異矩陣，則=（A*）-1.證明：因為（M）-1二丄/r1,由性質(zhì)2兩邊取逆可得A=
11、A
12、(A*r1故⑷―丨二另一方面，由性質(zhì)2有（/T1）=—^(A'1)*=
13、A
14、(A-1)*=>(A-1)*=^A?11^1n,當秩A=時性質(zhì)3.2.設A為n階矩陣，則秩T=1,當秩=時.0,當秩—2時證明：（1）當秩A=n時，則
15、ApO,A是可逆的，即有存在，所以/C=17^'可見，秩，=八。反之，當秩A*=ri時，/C可逆時，則有（A*）"1存在，所以（?V）_I，有
16、a
17、#0，因A=0,從而A*=0，
18、這與秩A*=Z1矛盾，所以
19、a
20、#o,于是秩（A）-n；（2）當秩（A）=m-1時，則A必有一個n-1階子式不為0，即A"中至少有一個元素不為0，所以，秩（A'）21，另外秩（A）=，卜1.則A=0,于是，兒＜:‘=AE=0.從而，秩（A）+秩（/T）。，故秩（/T）《l.這便知秩（A]=l.反之，若秩（？f）=l，則A*中必有一個人關0,即是說A必有一個n-1階子式不為零，故秩A2n-1但不能有秩（A）=n，否則，有秩/T=Z7，而"22,這樣與秩（/C）=l矛盾，所以秩（A）n,則（A）—19因此，秩（A）—n—.
21、（3）當秩（A）22、A*
23、=
24、A
25、W'其屮A是n階方陣（n>2）.證明：若
26、a卜0，???aa*=
27、a
28、e，W=
29、x
30、"=>
31、a
32、
33、々+
34、=卜
35、"=>
36、=
37、a
38、若
39、a
40、=o,這時秩a+
41、=o,而也有人1=
42、/1
43、
44、"一1綜合得1，卜
45、A
46、"性質(zhì)6.若A是n階非零實矩陣，，=/T，則0.證明：用反證法，若欠=（），則兒4Z=A/V=
47、^
48、￡=0,令一方面，設/?nxnnE%2i=l??攀????????????1>2,2???蠡參參參?AA'=AA^=參參參，=1參參參?參?????0?=0參參???參參參???參?????
